动量牛顿运动定律.ppt

第三章动量 牛顿运动定律 动量守恒定律 3 1牛顿第一定律和惯性参考系 第三章动量 牛顿运动定律 动量守恒定律 3 1牛顿第一定律和惯性参考系 力 是物体间的相互作用 力是引起运动状态改变的原因 1 提出了力和惯性的概念 任何物体 只要不受其它物体作用 将会永远保持静止或匀速直线运动的状态 牛顿第一定律 惯性定律 惯性 物体所固有的 保持原来运动状态不变的特性 2 是大量观察与实验事实的抽象与概括 3 定义了惯性系 1 惯性定律成立的参考系称之为惯性参考系 简称惯性系 惯性系是相对整个宇宙的平均加速度为零的参照系 2 惯性定律可以对质点的某一分量成立 地面参考系 固结在地面上的参考系 基准参考系 FK4系 是以相对于选定的若干颗恒星平均静止的位形为基准的参考系 太阳参考系 固结在太阳上的参考系 3 2惯性质量和动量 3 2 1惯性质量 3 2 4伽利略的相对性原理 3 2 3牛顿运动定律 3 2 2动量 动量变化率和力 3 2惯性质量和动量 3 2 1惯性质量 1 两质点在气桌上碰撞 两滑块相碰 改变滑块1 2初速度 反复实验 发现滑块1 2速度改变量各次虽然不同 但总有 或 为常量 与二滑块有关 2 惯性质量 取巴黎国际计量局中铂铱合金国际千克原器为标准物体 规定其质量为m0 1kg 千克 此即国际单位质量的基本单位 一个原子质量单位 u 为碳的同位素12C原子质量的1 12 令标准物体与某物体相碰 并令 m就是某物体 质量的操作型定义 从物体质量的定义可见 m大者较难改变运动状态或速度 m小者则较易 所以m应是物体惯性的反映 即惯性的大小 以惯性量度的质量称惯性质量 简称质量 经典力学m 常量 相对论力学 m0为静止质量 v和c分别表示质点速度和真空中的光速 3 2 2动量 动量变化率和力 定义 对任何两质点 有 1 动量 动量随时间连续而光滑地变化 2 力的定义 诸力作用于质点m 质点动量定理 质点动量对时间的变化率等于作用于该质点的力的矢量和 3 2 3牛顿运动定律 在经典力学中 质点质量不变 由力的定义有 1 牛顿第二定律 2 牛顿第三定律 作用力与反作用力之间有 3 说明 1 关于力的定义式 是牛顿定律的最初形式 在相对论中同样成立 而式只有在v c时成立 3 在电磁场中 牛顿第三定律不成立 但静电场中电荷间的相互作用力满足第三定律 因为静电场的动量不变 2 第三定律不涉及运动 不要求参考系是惯性的 牛顿第二定律适用范围 惯性参考系 质点及低速运动的宏观物体 3 2 4伽利略的相对性原理 如图O 系相对于O系作等速直线运动 两者均为惯性参考系 O系中质点的运动有 O 系中对同一质点 因 又质点加速度有伽利略不变性 即 力取决于质点动量对时间的变化率 故 伽利略相对性原理 力学现象对一切惯性系来说 都遵从同样的规律 或者说 在研究力学规律时 一切惯性系都是等价的 O 中测得的质点质量m 加速度和所受合力的关系为 若在O系中有 若在O 系中亦有 3 3主动力和被动力 3 3 1主动力 3 3 2被动力或约束反作用力 3 3主动力和被动力 3 3 1主动力 1 重力和重量 重力 地球对物体作用力的总和 若将地球视为惯性系 则重力即是地球与物体的万有引力 重量 重力的大小 用和m分别表示质点所受的重力和本身质量 有 重量和质量不同 质量反映物体被当作质点相对于惯性系运动时的惯性 是物体固有的 重量是物体所受重力的大小 属于相互作用范畴 质量概念比重量概念更带普遍性 在经典力学中 质量为常量 而重力和重量与重力加速度有关 2 弹簧弹性力 Fx kx 压缩或拉伸较小时 弹性力与形变量关系为 k 劲度系数 由弹簧本身性质决定 3 静电场力和洛仑兹力 电场力 q为带电质点的电量 为带电质点所在处的电场强度 运动带电质点在磁场中所受磁场的作用力称洛伦兹力 带电质点在电场中受电场力作用 洛伦兹力大小 为磁感应强度 为带电质点的运动速度 为和的夹角 右手螺旋法则 如质点带负电 则力的方向与上述相反 洛伦兹力矢量式 若带电质点在电磁场中 则合力为 3 3 2被动力或约束反作用力 称洛伦兹公式 当物体的运动受到一定限制时称为约束 受约束的物体将受到约束反作用力 这种力不可能事先知道 因而在力学问题中常常作为未知力出现 1 绳内张力 张力 绳子受到拉伸时内部出现的力 方向与绳子在该点的切线平行 2 支承面的支撑力 两物体以理想光滑面接触 只有与接触面垂直的力 此力称正压力或支撑力 3 摩擦力 干摩擦 固体间的摩擦 干摩擦力 静摩擦力 滑动摩擦力 阻碍相对运动 阻碍相对运动趋势 Ff0 静摩擦力 Ff0max 最大静摩擦力 0 静摩擦因数 Ff 滑动摩擦力 滑动摩擦因数 Ff0 Ff0max 0FN Ff FN 库仑的经验公式 FN 正压力 摩擦因数与物体材料 表面光滑程度 干湿程度以及温度等多种因素有关 甚至并非常数 但在一般计算中 可视摩擦因数为常数 3 4牛顿运动定律的应用 3 4 1质点的直线运动 3 4 2变力作用下的直线运动 3 4 3质点的曲线运动 3 4 4质点的平衡 3 4牛顿运动定律的应用 应用牛顿定律应注意 研究对象 质点 将其它物体对该质点的作用归结为力 画隔离图 加速度是相对于惯性系的 是瞬时关系 是矢量式 解题中选择适当的坐标系 写成分量式 正确写出约束方程 3 4 1质点的直线运动 在直角坐标系中 牛顿第二定律分量式为 牛顿第三定律分量式 典型例子之一是 直线加速器 下图是示意图 例题1 英国剑桥大学物理教师阿特伍德 GeorgeAtwood 1746 1807 善于设计机巧的演示实验 他为验证牛顿第二定律而设计的滑轮装置 称作 阿特伍德机 该机是最早出现验证牛顿定律的最好设备 于1784年发表于 关于物体的直线运动和转动 一文中 下页如图所示 物理学进行研究需要建立理想模型 在理论模型中 重物和m1和m2可视作质点 滑轮是 理想的 即绳和滑轮的质量不计 轴承摩擦不计 绳不伸长 求重物释放后物体加速度及物体对绳的拉力 解 选地球为惯性参考系 取质点m1和m2为隔离体 受力如图 由牛顿第二定律 有 不计绳和滑轮质量 有 建立坐标系Ox 约束关系 常量 对时间求两次导数 得 牛顿第二定律分量式 求解 得 讨论 若m1 m2 a1x为正 a2x为负 表明m1的加速度与x轴正向相同 若m1 m2 则a1x为负 表明m1的加速度与x轴的正向相反 若m1 m2 加速度为零 即加速度的方向大小均取决于m1和m2 例题2 斜面质量为m1 滑块质量为m2 m1与m2之间 m1与平面之间均无摩擦 用水平力F推斜面 问斜面倾角 应多大 m1和m2相对静止 解 受力分析如右上图 m1和m2相对静止 因而有共同的加速度a 根据牛顿第二 三定律 得 直角坐标中分量式 解方程得 3 4 2变力作用下的直线运动 若已知力求运动学方程 需作积分计算 动力学方程为 或 若已知力 坐标和速度的初始条件 可通过积分求解方程 设方程为线性的 例题3 已知一质点从静止自高空下落 设重力加速度始终保持一常量 质点所受空气阻力与其速率成正比 求质点速度并与自由下落相比 解 建立以开始下落处为坐标原点且铅直向下的坐标系Oy 又选开始下落时为计时起点 动力学方程为 重力 阻力 它在Oy轴的投影为 该式可写作 作不定积分 得 因t 0 故 于是 红色直线表示自由下落 蓝色曲线表示有阻力时 最后可达一极限 终极速度 终极速度 与高度无关 自由落体 与高度有关 3 4 3质点的曲线运动 在自然坐标系中 质点动学方程分量式 法向力 各力在法线方向投影的代数和 切向力 各力在切线方向投影的代数和 曲率半径 例题4 北京紫竹院公园有一旋风游戏机 大意如图所示 设大圆盘转轴OO 与铅直方向成 18 匀速转动 角速度为 0 0 84rad s 离该轴R 2 0m处又有与OO 平行的PP 绕PP 转动的座椅与PP 轴距离为r 1 6m 为简单起见 设转椅静止于大圆盘 设椅座光滑 侧向力全来自扶手 又设两游客质量均为m 60kg 求游客处于最高点B和较低点A处时受座椅的力 解 游客作圆周运动 A B二人受力分析如上右图 根据牛顿第二 三定律 得 分量式 解之得 与et约成16 3 与en约成3 3 4 4质点的平衡 质点平衡方程 质点平衡条件 质点处于平衡时 作用于质点的合力等于零 直角坐标系中的分量式 例题5 将绳索在木桩上绕几圈 能使绳的一端受到极大拉力 例如拴着一头牛 只要用很小的力拽住绳的另一端 即可将绳索固定 原因在哪里 如图表示绳与圆柱体在AB弧段上接触且无相对滑动 弧AB对应的圆心角 称为 包角 和分别表示A点和B点绳的张力 设绳与圆柱间的静摩擦系数为 0 不计绳的质量 求在一定的条件下 的最大值 解 在绳AB段上想象的截取小弧段对应于圆心角d 受力如右上图所示 圆柱体给绳的支撑力 静摩擦力 根据质点平衡方程 得 设张力 建自然坐标系 将上式投影 并考虑到 得 略去二级无穷小量 得 由此二式消去FN得 3 5非惯性中的动力学 3 5 1直线加速参考系中的惯性力 3 5 2离心惯性力 3 5 3科里奥利力 问题 车的a 0时单摆和小球的状态符合牛顿定律 a 0时单摆和小球的状态为什么不符合牛顿定律 3 5非惯性中的动力学 3 5 1直线加速参考系中的惯性力 设动参考系O 相对于静参考系O以加速度作直线加速运动 则质点在O 系中的加速度和质点在O系中的加速度关系为 平移惯性力 真实力 所以 即 其中 例题1 杂技演员站在沿倾角为 的斜面下滑的车厢内 以速率v0垂直于斜面上抛红球 经时间t0后又以2v0垂直于斜面上抛一蓝球 车厢与斜面无摩擦 问二球何时相遇 解 以车厢为参考系 小球受力见上右图 以出手高度为坐标原点建立坐标系Oy 以抛出红球时为计时起点 对红球和蓝球分别有 两球相遇时 得相遇时间为 讨论 因t t0时才抛蓝球 故应t遇 t0 因而要求 即必在红球返回y 0之前抛出蓝球 3 5 2离心惯性力 物体位于过原点而垂直转轴的平面内 相对于圆盘静止 则 对于观察者1 对于观察者2 离心惯性力 离心力 其中 3 5 3科里奥利力 物体相对地面沿直线OABC运动 物体相对转盘沿曲线OA B C3 运动 效应一 1 定性说明 物体相对转盘沿直线OA B C 运动 物体相对地面沿曲线OABC运动 效应二 物体相对惯性系作曲线运动 表明物体必受真实力作用 物体所受真实力与物体所受惯性力大小相等 方向相反 2 科里奥利力定量表述 考虑物体相对地面走的是曲线 则相对转盘走的是直线 设物体相对转盘速度为 设物体向右方的加速度为aK 比较以上两式 得 考虑到方向 科里奥利加速度 质点相对转盘走的是直线 科里奥利力 傅科摆直接证明了地球的自转 北极悬挂的单摆摆面轨迹 摆平面转动方向 3 科里奥利力的应用 北半球的科里奥利力 旋风 3 6用冲量表述的动量定理 3 6 1力的冲量 3 6 2用冲量表述的动量定理 3 6用冲量表述的动量定理 3 6 1力的冲量 冲量 力对时间的积累作用 是矢量 力在 t内的元冲量 力在t t0时间间隔内的冲量 平均力定义 平均力的冲量 单位 在F t图中 I是F t曲线下的面积 元冲量与F的方向一致 而一段时间间隔内力的冲量的方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向 冲力 作用时间很短且量值变化很大的力 3 6 2用冲量表述的动量定理 力对时间的积累效果 即 力在时间上的积累作用产生的效果是使质点的动量增加 冲量的方向 速度增量的方向 微分形式 积分形式 例题1 气体对容器壁的压强是由大量分子碰撞器壁产生的 从分子运动角度研究气体压强 首先要考虑一个分子碰撞器壁的冲量 设某种气体分子质量为m 以速率v沿与器壁法线成60 的方向运动与器壁碰撞 反射到容器内 沿与法线成60 的另一方向以速率v运动 如图所示 求该气体分子作用于器壁的冲量 解 将气体分子视为质点 一个分子在一次碰撞器壁中动量的增量为 即分子一次碰撞施于器壁的冲量为 即冲量可采用作图法 按几何关系 余弦定理 正弦定理等 求解 3 7质点系的动量定理和质心运动定理 3 7 1质点系动量定理 3 7 2质心运动定理 3 7 3质点系相对于质心系的动量 3 7质点系的动量定理和质心运动定理 3 7 1质点系动量定理 质点系 有相互作用的若干个质点组成的系统 内力 系统内各质点间的相互作用力 外力 系统以外的其它物体对系统内任意一质点的作用力 质点系动量定理微分形式 质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和 质点系动量定理积分形式 在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力矢量和在这段时间内的冲量 此即用冲量表示的质点系的动量定理 几点说明 1 只有外力对体系的总动量变化有贡献 内力对体系的总动量变化没有贡献 但内力对动量在体系内部的分配是有作用的 是过程量 积分效果 2 3 牛顿第二定律只适于质点 动量定理既适于质点又适于质点系 4 动量定理只适用于惯性系 对非惯性系 还应计入惯性力的冲量 5 动量定理是矢量式 应用时可用沿坐标轴的分量式求解 如x轴分量式 即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量 也可采用作图法 按几何关系 余弦定理 正弦定理等 求解 例题1 火箭沿直线匀速飞行 喷射出的燃料生成物的密度为 喷口截面积为S 喷气速度 相对于火箭的速度 为v 求火箭所受推力 解 选择匀速直线运动的火箭为参考系 是惯性系 dt时间内喷出气体质量 dm喷出前后动量改变量为 由动量定理 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力 向下 火箭所受推力 也等于 向上 例题2 如图表示传送带以水平速度将煤卸入静止车厢内 每单位时间内有质量为m0的煤卸出 传送带顶部与车厢底板高度差为h 开始时车厢是空的 不考虑煤堆高度的改变 求煤对车厢的作用力 解 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系 并建立直角坐标系Oxy 到达车厢前一瞬间 煤的速度 到达车厢后速度为零 质点系动量的改变量 单位时间内车厢对煤的冲量 煤落到车厢时煤对车厢的冲力 取煤到达空车厢时为计时起点 车厢对煤的支撑力 煤作用于车厢的力等于上面两力之和 即 3 7 2质心运动定理 1 质心 质点系动量定理 而 有 m 总质量 令 质点系中存在一个特殊点C 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心 质心 在直角坐标系质心坐标为 对由两个质点组成的质点系 有 质心必位于m1与m2的连线上 且质心与各质点距离与质点质量成反比 例题3 一质点系包括三质点 质量为和 位置坐标各为求质心坐标 解 质心坐标 质心在图中的 处 C 2 质心运动定理 即 质心运动定理 质心的行为与一个质点相同 注 在动力学上 质心是整个质点系的代表点 质心的运动只决定于系统的外力 内力不影响质心的运动 1 质心不是质点位矢的平均值 而是带权平均值 因与m有关 所以是动力学概念 3 说明 推论 质量均匀分布的物体 其质心就在物体的几何中心 2 质心的位矢与坐标原点的选取有关 但质心与体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关 质心是质点系全部质量和动量的集中点 重心是重力的合力的作用点 质心的意义比重心的意义更广泛更基本 3 质心与重心的区别 例题4 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样跳伞 由于作了某种动作 运动员D质心加速度为铅直向下 运动员A质心加速度为 与铅直方向成 加速度均以地球为参考系 求运动员B的质心加速度 运动员所在高度的重力加速度为g 运动员出机舱后很长时间才张伞 不计空气阻力 解 将三运动员简化为质点系 受外力只有重力 W表示各运动员所受重力 建立直角坐标系 m表示各运动员质量 根据质心运动定理 表示各运动员质心的加速度 将上式投影 或 得 质心坐标系 以质心为原点 坐标轴总与基本参考系平行 3 7 3质点系相对于质心系的动量 质点系相对质心坐标系的动量 质心系中质心位置矢量 即质点系相对质心坐标系的动量总为零 而 3 8动量定恒定律 3 8 1质点系动量守恒定律 3 8 2动量沿一某一坐标轴的投影守恒 3 8动量定恒定律 3 8 1质点系动量守恒定律 由 若 则 质点系动量守恒 即在某一段时间内 若质点系所受外力矢量和自始自终保持为零 则在该时间内质点系动量守恒 1 质点系动量守恒定律 2 几点说明 2 内力对系统动量无贡献 但可改变每个质点的动量 从而改变系统内的动量分配 但可有 即 直角坐标系分量式 1 动量守恒定律的条件 若系统不受外力 孤立系统 动量守恒 3 系统内力为冲力 外力大小有限时 往往可忽略外力 系统动量守恒 4 动量守恒定律是自然界中最重要的基本规律之一 当质点运动速率与光速相比不可忽略时 有 当v c时 m m0 5 对于一切惯性系动量守恒定律都成立 但在解决具体问题时各质点的动量都应该相对于同一惯性系 例题1 自动步枪的质量为3 87kg 弹丸质量为7 9g 战士以肩窝抵枪 水平射击 子弹射出的速率为735m s 自开始击发至子弹离开前枪管经过0 0015s 设子弹在枪膛内和对地球作匀加速运动 求直到子弹离开枪管为止 枪身后座的距离 解 1 用动量守恒方程求枪后坐速度 设子弹和枪身质量分别为和 末速度分别为和 动量守恒 x方向 2 求枪身后坐距离 将上式对时间求导得 因子弹作匀加速运动 即 为恒量 亦为恒量 用t和a表示自击发至子弹离开枪管经过的时间和加速度 则 这段时间内枪身后坐的位移为 1 将 1 代入此式 得 3 8 2动量沿一某一坐标轴的投影守恒 动量守恒可在某一方向上成立 若作用于质点系外力矢量和的投影恒等于零 但和不恒等于零 则质点系动量投影 常量 但和不保持恒定 可称作质点系动量沿一坐标轴的投影守恒 例题2 如图表示一战车 置于摩擦很小的铁轨上 车身质量为 炮弹质量为 炮筒与水平面夹角角 炮弹以相对于炮口的速度为射出 求炮身后坐速率 解 本题铅直方向动量不守恒 水平方向动量守恒 炮弹相对于地面的速度 由图得