动量定理和动量守恒定律.ppt

1 第三章动量定理及动量守恒守恒定律 2 3 1牛顿第一定律和惯性参考系 一 牛顿第一定律 孤立质点静止或作等速直线运动 每个物体继续保持其静止或作等速直线运动的状态 除非有力加于其上迫使它改变这种状态 使用范围 质点和惯性参考系 对牛顿第一定律的理解 1 定性的说明了运动和力的关系 物体的运动并不需要力去维持 只有当物体的运动状态 速度 发生变化即产生加速度时 才需要力的作用 力的定义 力是一物体对另一物体的作用 是物体产生加速度的原因 2 提出了 惯性 的概念 物体保持原来运动状态不变的特性 是物体所固有的 3 二 惯性参考系 孤立粒子相对它静止或作等速直线运动的参考系 简称 惯性系 或者 牛顿第一定律能成立的参考系叫惯性系 否则称为非惯性参考系 一般情况下 由观察和实验的性质来判断 如 在精度不太高时 地球参考系可以看作惯性参考系 又称实验室参考系 或实验室坐标系 在人造地球卫星时 常选 地心 恒星坐标系 以地心为原点 坐标轴指向恒星的惯性参考系 在研究行星等天体的运动时 常选 日心 恒星坐标系 以太阳中心为原点 坐标轴指向其它恒星的惯性参考系 相对于惯性参考系作等速直线运动的参考系亦为惯性参考系 这就是惯性参考系的 传递性 发现一个惯性系 变有无穷多个惯性系 注意 运动只能是相对于参考系而言的 没有参考系的运动描述都是没有任何物理意义的 4 3 2惯性质量 动量和动量守恒定律 运动的变化有何规律 问题 式中各量如何定义 定律是如何建立的 1 惯性质量 质量的操作型定义 实验室气桌上两个滑块的碰撞实验给出 取国际千克原器为标准物体 以m0标记 将它与某物体作用 记为m m0 有 规定m0 1千克 kg 则有 5 规定 标准物体的质量mc 1kg 令标准物体与某物体相互作用 和分别表示标准物体和某物体速度的改变量 令 2 式就是质量的 操作型定义 由 2 式可知 两物体相撞 m大者较难改变运动状态或速度 反之 m小者则较易 由此可以联想到惯性 因此 2 式定义为惯性质量 简称 质量 经典力学中 质量为一恒量 并且惯性质量具有可加性 但当质点速度可与光速相比拟时 由相对论力学来确定 质量随速度的增加而增加 3 6 二 动量动量守恒定理 1 动量的定义 质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量 性质 矢量 其方向与其速度方向相同 符号 物体系 有两个或更多的相互作用的物体组成的研究对象叫做物体系 质点系 若物体系中的物体均可视作质点 则称为质点系 2 质点系动量 质点系内各质点动量的矢量和叫作质点系的动量 7 3 动量守恒定律 实验表明 若质点系不受质点系以外其它物体的作用 该质点系动量守恒 5 注意 动量守恒定律是自然界最基本的定律之一 适用于 经典力学 相对论力学 场 宏观物体和微观粒子组成的物体系 应用 动量守恒定律可以预测新粒子的存在 原子核的 衰变可写为A B e 但实验显示B核和e电子的径迹不在一条直线上 违背动量守恒定律 为此泡利 W Pauli 于1930年提出中微子假说来维护动量守恒定律 1956年终于在实验中发现了中微子 在电磁学中研究两个运动带电粒子 人们发现两者动量的矢量和似乎不守恒 后来考虑了电磁场的动量 总动量又守恒了 8 3 3牛顿运动定律 伽利略相对性原理 1 力 力的独立作用原理 1 由动量变化引入力的概念 实验表明两质点相互作用时动量连续发生变化 但总动量仍然守恒 即 在单位时间内两质点交换的动量为 将时间间隔取极限 则有 若分别考察两质点 它们各自的动量都发生了变化 而变化的原因是相互作用 这种相互作用可以称之为力 于是可以引入力的概念 9 力是一物体对另一物体的作用 将受力物体视为质点时 力可用受力物体动量的变化率来量度 式中k为常数 在SI中k 1 力的量纲为LMT 2 于是 或一般的可写作 2 力的独立作用原理 若在一质点上同时作用几个力 则这些力各自产生自己的效果而不相互影响 3 质点的动量定理 10 2 牛顿运动定律 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态 自由粒子是指不受任何相互作用的粒子 1 牛顿第一定律 2 牛顿第二定律 即 物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力成正比 与物体的质量成反比 加速度的方向与和外力的方向相同 3 牛顿第三定律 即 两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作用于两个不同物体上 11 三 伽利略的相对性原理 牛顿定律适用于惯性系 从一惯性系变换为另一惯性系时 牛顿第二 三定律形式将不变 O系 O 系 因此 对于任何惯性参考系牛顿第二 三定律都成立 即 任何惯性参考系在牛顿力学规律面前都是平等的或着说是平权的 12 举例说明 船匀速直线运动 船上的人让小球自由下落 船上的人观察 小球匀加速自由下落 地面上的人观察 小球作斜下抛运动 所以 船上的人无法判断船的运动状态 伽利略的相对性原理 对于描述力学规律来说 一切惯性系都是等价的 也称力学的相对性原理 或者 不可能借助在惯性参考系中所做的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度 13 3 4自然界中常见的力 主动力与被动力 1 主动力 有其 独立自主 的方向和大小 不受其它力的影响 处于 主动 地位的力 1 万有引力 2 重力 3 弹性力 14 2 弹簧弹性力 弹簧水平放置 一端固定 另一端与质点相连 处于自由伸展状态 以弹簧自由伸展时质点位置为坐标原点 沿弹簧轴线建立O x轴 x表示质点坐标或对于原点的位移 fx表示弹性力在轴上的投影 在弹性限度内 由胡克定理 弹簧弹性力的大小与物体相对于坐标原点的位移成正比 2 式中负号表示方向与位移相反 k是弹簧的劲度系数 与弹簧的匝数 直径 线径和材料等因素有关 15 3 静电场力和洛仑兹力 1 带电体周围存在电场 在电场内引入另一带电质点 则它所受电场力的作用 3 2 有电流的空间存在磁场 磁场对运动带电质点有力的作用 磁感应强度为 质点所带电荷为q 运动速度为 则质点所受的磁场力为 4 上式表明 当质点所带电荷为正电荷时 满足右手螺旋法则 当质点所带电荷为负电荷时 的方向与上述方向相反 16 二 被动力 约束反作用力 象物体间的挤压力 绳内张力和摩擦力 没有自己独立自主的方向和大小 要看质点受到的主动力和运动状态而定 处于 被动地位 被动力常常作为未知力出现 1 绳内的张力 张力 在张紧绳索上某位置作与绳垂直的假想截面 将绳分成两侧 这两侧的相互作用力即该处绳的张力 注意 处理问题时绳的伸长量不考虑 原因 是由于绳索的拉伸形变而产生的 但形变量与原长相比很小 可忽略不计 2 支持面的支撑力 两物体接触并压紧 双方均因挤压而形变 变形后的物体企图恢复原状而互相施于挤压弹性力 形变往往微乎其微 常忽略不计 对于互相挤压的物体 可将相互作用力分为两分力 一分力 沿接触面切线方向 另一分力 与接触面垂直 前者属于摩擦力 后者属于正压力 17 3 摩擦力 固体间的摩擦力叫做干摩擦力 包含静摩擦力和滑动摩擦力 静摩擦力 最大静摩擦力 滑动摩擦力 为滑动摩擦系数 N表示正压力 则有 其中 和与物体材料 表面光滑程度 干湿程度及温度等多种因素有关 一般的计算中 视和为常量 且 18 3 5牛顿运动定律的应用 1 质点的直线运动 例题1 阿特伍德机可求得加速度与物体质量以及重力加速度的关系 用于验证牛顿定律 解 由牛顿第二定律 因绳子不伸长 有 求导 得 又因 得到 最后解出 19 例题2 斜面上的滑块 解 根据牛顿第二和第三定律 有 其投影式为 解以上方程 得到 20 二 变力作用下的直线运动 三 质点的曲线运动 选择自然坐标系 将力投影到法线方向和切线方向 由牛顿第二定律可得 表示力在法线方向上投影的代数和 表示力在切线方向上投影的代数和 4 21 4 质点的平衡 平衡条件 其投影式 例题5 木桩上栓牛绳的张力 解 平衡方程为 将上式向x y方向投影 并注意 有 因很小 得到 积分得 也即 22 练习题 1 质量为M 0 01kg的小环在 刚度系数为20N m的弹簧作用下沿一光滑弯管滑下 在图中所示的位置上小环速率为20c s 求在此处小环的加速度及环对管子的压力 弹簧自然伸展的长度为50cm 23 第三章动量定理及动量守恒守恒定律 抛物线形弯管的表面光滑 绕铅直轴以匀角速率转动 抛物线方程为 a为正常数 小环套于弯管上 1 弯管角速度多大 小环可在管上任意位置相对弯管静止 2 若为圆形光滑弯管 情况如何 24 牛顿定律只在惯性系成立 近似惯性系 3 6非惯性系中的力学 25 1 直线加速参考系中的惯性力 由上图可见 在参考系O 和参考系O之间有 求对时间的二阶导数 得加速度之间的关系 对于参考系O有 代入上式 得到 或 3 6非惯性系中的力学 26 例题1 p81 实例 超重和失重 解 在车厢坐标系 重力加速度 为 红绿球方程为 27 二 离心惯性力 如图所示 圆盘以匀角速率绕铅直轴转动 圆盘上用长为r的线将质量为m的小球系于盘心且相对于圆盘静止 从惯性系看 小球受线拉力的作用下做匀速圆周运动 符合牛顿第二定律 从圆盘非惯性系看 小球受到拉力的作用 却保持静止 不符合牛顿第二定律 故有 相对于惯性系做匀速转动的参考系也是非惯性系 上式的力称为离心惯性力 是自转轴向质点所引的矢量 与垂直 即 若质点静止于匀速转动的非惯性系中 则作用于此物体所有相互作用力与离心惯性力的合力等于零 即 5 28 三 科里奥利力 如图示 一圆盘绕铅直轴以匀角速率 转动 盘心有一光滑小孔 沿半径方向有一光滑槽 其中质一小球m 可视作质点 以细线连之 线另一端穿过小孔 可控制小球在槽中作匀速运动 速度为沿槽向外运动 经时间 t 圆盘转过 t角 而小球自A运动至 1 从地球惯性参考系上研究 A点 小球的速度 和切向速度 为A点处的半径 二者合成应使小球达到D点 实际上小球到达点 这表明槽对小球的作用有沿切线或圆弧方向的力 使小球获得切向加速度 使小球多走出弧长 由于 t很短 可设小球以恒定加速度走出 于是有 是槽壁作用于小球的推力产生的 29 引入 角速度矢量 记作 方向规定 右手握并伸出拇指 四指指向圆盘旋转的方向 拇指即指向角速度矢量的方向 由上图可知 称作科里奥利加速度 它是在惯性系中看到的 是槽施于小球的推力所产生的加速度 6 2 从非惯性系上研究 称作科里奥利力或科氏力 不属于相互作用范畴 是在转动非惯性系中观测到的 注 若质点相对于匀速转动的圆盘作变速转动 则惯性力为 离心惯性力和科里奥利力 小球的受力 线的拉力 离心惯性力 二者平衡 槽对球的推力 但并没发生与槽垂直的运动 故还受一惯性力 7 30 3 7用冲量表示的动量定理 1 力的冲量 元冲量 冲量 或 定义平均力 则冲量可表示为 曲面面积 矩形面积 是过程量 是力在一段时间间隔里的积累效应如果是恒力 则的方向与的方向是一致的吗 31 二 用冲量表述的动量定理 4 上式表明 质点动量的微分等于合力的元冲量 质点动量定理的微分形式 5 上式表明 在一段时间内 质点动量的改变量等于这段时间内作用于质点合力的冲量 质点动量定理的积分形式 因为 合力的冲量等于各分力冲量的和 所以 5 式可表示为 6 注 上式不常用 因为 有的力的作用不是持续的 而是间断和变化的 32 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为 0 质量为m的滑块与M均处于静止 绳不可伸 绳与滑轮质量可不计 不计滑轮轴摩擦 问将M托起多高 松手后可利用绳对M的冲力的平均力拖动M 设当m下落h后经过极短的时间 t后与绳的铅直部分相对静止 例题 33 34 3 8质点系动量定理和质心运动定理 1 质点系动量定理 质点系 由若干质点组成的系统 外界 质点系以外的物体外力 外界对质点系内质点的作用力内力 质点系内诸质点间的相互作用力 由于质点系内力的矢量和等于零 可得 这就是质点系动量定理 即 质点系动量对时间的变化率等于作用于质点系一切外力的矢量和 用冲量表示的质点系的动量定理 35 例题2 传送带以水平速度将煤卸入静止车厢内 每单位时间内有质量为m0的煤卸出 传送带顶部与车厢底板高度差为h 开始时车厢是空的 不考虑煤堆高度的改变 求煤对车厢的作用力 解 将落入车厢的煤视为质点系 则动量的改变为 不计重力 煤对车厢的冲力为 煤的重力与支撑力平衡 煤对车厢的作用力 36 二 质心运动定理 由质点系动量定理 用表示各质点的位置 则 设表示质点系的总质量 则 5 37 直角坐标系中的投影 若质点是连续的 则 7 6 式或 7 式所确定的空间点和质点系密切关联 叫做质点系的质量中心 简称质心 表示质心的位置矢量 表示质心坐标 是质点系质量分布的平均坐标 即 以质量为权的平均坐标 38 另外 用表示质心加速度 则 5 式可以写作 所以 质点系的动量 即 体系的动量等于质心的动量 9 式表明 质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和 叫做质点系的质心运动定理 39 8 9 注 内力不影响质心的运动状态 8 式或 9 式和牛顿第二定律的形式一样 可知 把实际物体抽象为质点并运用牛顿第二定律 是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动和各质点间的相对运动 质点模型方法的实质 即 在质点动力学中 我们所研究的 质点 其实就是物体的 质心 质心运动定理的局限性 仅给出质心加速度 未对质点系作全面描述 40 3 质点系相对于质心系的动量 质心参考系 以质点系的质心为原点 坐标轴总与基本参考系平行的参考系 质点相对于质心系的动量为 在质心坐标系中 所以 结论 质点系对质心参考系的动量总为零 例 均匀木板长为2a 质量为M 放在光滑的水平面上 质量为m的人 从板的一端走到另一端 求木板的位移 41 3 9经典力学中动量守恒定律的常见形式 1 质点系动量守恒定律 由质点系的动量定理 得 在一定时间间隔内 若 则 即 在某一时间间隔内 若质点系所受外力矢量和自始自终保持为零 则在该时间内质点系动量守恒 2 动量沿某一坐标轴的投影守恒 如果总动量不守恒 但动量在某个坐标轴的投影保持不变 即 不论是否为零 则 42 例题2 一战车置于无摩擦的铁轨上 车身质量为m1 炮弹质量为m2 炮筒与水平面夹角 炮弹以相对于炮口的速度射出 求炮身后坐速率 解 水平方向的动量可看作近似守恒 有 解出 43 本章习题 3 5 23 5 63 5 123 6 23 6 33 7 53 8 23 8 33 9 1