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总复习 第五章位置的确定 平面上确定位置的方法 方法一 坐标定位法 生活中常常用排数和号数来确定位置 方法二 方向定位法生活中常常用 方位角 和 距离 来确定位置 方法三 经纬定位法生活中常常用 经度 和 纬度 来确定位置 方法四 区域定位法生活中常常用 区域定位 来确定位置 有序数对 a b 叫做点P的坐标 a b o x y p a b o x y p 3 4 1 平面直角坐标系的概念 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 O 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 注意 坐标轴上的点不属于任何象限 A B C D 3 0 4 0 0 5 0 4 0 0 在y轴上的点 横坐标等于0 在x轴上的点 纵坐标等于0 若mn 0 则点P m n 必定在上 坐标轴 x y 即 a 0 b 0 即 a 0 b 0 即 a 0 b 0 即 a 0 b 0 1 当点P落在一 三象限的两条坐标轴夹角平分线上时 x y a a a b 2 当点P落在二 四象限的两条坐标轴夹角平分线上时 x y a a a b P a b A a b B a b C a b 对称点的坐标 点P 4 3 关于X轴对称的点的坐标是 关于Y轴对称的点的坐标是 关于原点对称的点的坐标是 4 3 4 3 4 3 基本题 1 点A 2 3 关于x轴对称的点的坐标是 2 点B 2 1 关于y轴对称的点的坐标是 2 3 2 1 4 点M 8 12 到x轴的距离是 到y轴的距离是 5 点 4 3 与点 4 3 的关系是 A 关于原点对称 B 关于x轴对称 C 关于y轴对称 D 不能构成对称关系 12 8 B 7 如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同 那么过这两点的直线 A 平行于x轴 B 平行于y轴 C 经过原点 D 以上都不对 B 提高题 1 已知点P a b Q 3 6 且PQ x轴 则b的值为 2 点 m 1 和点 2 n 关于x轴对称 则mn等于 A 2 B 2 C 1 D 1 6 B 4 写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标 D 解 如图 各个顶点的坐标分别为 A 2 0 B 0 3 C 3 3 D 4 0 E 3 3 F 0 3 EF x轴 BC x轴 例3 在下图的直角坐标系中描出下列各组点 并将各组内的线段依次连接起来 1 6 5 10 3 9 3 3 3 2 3 6 5 2 9 3 9 0 3 0 3 3 3 3 5 9 2 7 3 7 4 7 5 7 3 5 9 4 3 7 1 5 2 5 5 5 6 5 4 7 5 2 5 0 3 3 3 3 0 4 0 4 3 7 3 5 5 观察所得的图形 你觉得它像什么 解 这个图形像一栋 房子 旁边还有一棵 大树 其中第1 2组点连成一栋 房子 第3 4 5组点连成一棵 大树 解 如图 以C为坐标原点 分别以CD CB所在的直线为X轴 Y轴 建立直角坐标系 此时的点C的坐标为 0 0 由CD的长6 CB的长为4 可以得到D B A的坐标为D 6 0 B 0 4 A 6 4 5 例2 如图 矩形ABCD的长与宽分别为6 4 建立适当的直角坐标系 并写出各个顶点的坐标 A B C D C 议一议 你还可以怎样建立直角坐标系呢 解 如图 以CD所在的直线为X轴 以线段CD的中垂线为Y轴 建立直角坐标系 由CD的长6 此时的点C的坐标为 3 0 D 3 0 CB的长为4 可以得到B A的坐标为 B 3 4 A 3 4 A B C 0 例3 对于边长为4的正三角形 ABC 建立适当的直角坐标系 写出各个顶点的坐标 思考 怎样求出A的纵坐标呢 A 0 B 2 0 C 2 0 在一次 寻宝 游戏中 寻宝人已经找到了坐标为 3 2 和 3 2 的两个标志点 并且知道藏宝地点的坐标为 4 4 除此以外不知道其他信息 如何确定直角坐标系找到 宝藏 x 在一次 寻宝 游戏中 寻宝人已经找到了坐标为 3 2 和 3 2 的两个标志点 并且知道藏宝地点的坐标为 4 4 除此以外不知道其他信息 如何确定直角坐标系找到 宝藏 x 1 2 3 4 1 0 4 3 2 2 1 1 2 3 4 3 4 Y 5 6 A 3 2 B 3 2 C 4 4 1 纵坐标保持不变 横坐标分别加3 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 原图形向右平移3个单位 x y x 3 y 2 纵坐标保持不变 横坐标分别加 2 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 原图形向左平移2个单位 x y x 2 y 3 横坐标保持不变 纵坐标分别加1 1 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 原图形向上 下 平移1个单位 合作探究 1 纵坐标保持不变 横坐标分别变为原来的2倍 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 合作探究 2 纵坐标保持不变 横坐标分别变为原来的1 2倍 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 合作探究1 2 规律 k 1横向拉k倍 0 k 1横向缩小k倍 3 横坐标不变 纵坐标变为原来的2倍 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 4 横坐标保持不变 纵坐标分别乘以1 2 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 合作探究3 4规律 k 1纵拉k倍 0 k 1纵向缩小k倍 5 纵坐标 横坐标分别变为原来的2倍 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 原图形被横向 纵向各拉伸2倍 原图形的形状没变 面积是原来的4倍 1 纵坐标不变 横坐标分别增加 减少 a个单位时 图形向右 向左 平移a个单位 2 横坐标不变 纵坐标分别增加 减少 a个单位时 图形向上 向下 平移a个单位 3 纵坐标不变 横坐标分别变为原来的a倍 图形横向伸长为原来的a倍 a 1 或图形横向缩短为原来的a倍 0 a 1 4 横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍 图形变为原来的a倍 x y 2xy 1 小房子被拉宽了2倍 2 小房子被拉长了3倍 O 1 1 x y x y x3y X Y 1 1 X Y 3 1 4 松树沿x轴方向 向右平移2个单位长度 x y x 2y 5 纵坐标不变 横坐标分别乘 1 所得图形与原图形关于Y轴对称 6 横坐标不变 纵坐标分别乘 1 所得图形与原图形关于X轴对称 7 横坐标与纵坐标都乘 1 所得图形与原图形关于原点成中心对称 例2 请将上图中的点 0 0 5 4 3 0 5 1 5 1 3 0 4 2 0 0 做以下变换 1 横坐标保持不变 纵坐标分别乘以 1 再将所得的点用线段依次连接起来 所得的图案与原来的图案相比有什么变化 作字母M关于y轴的轴对称图形 并写出所得图形相应各端点的坐标 A 4 0 E 1 0 D 1 3 B 4 3 C 2 5 0 7如图 直角坐标系中 的顶点都在网格点 点坐标为 求 的面积 上 其中 如图1 平面直角坐标系中 已知 ABC三个顶点的坐标分别是A 3 1 B 1 3 C 2 3 求 ABC的面积 一次函数 在某个变化过程中 有两个变量x和y 如果给定一个x值 相应地就确定一个y值 那么我们称y是x的函数 其中x是自变量 y是因变量 1 什么叫函数 2 函数有哪些表达方式 函数有图象 列表格 代数表达式三种表达方式 若两个变量x y之间的关系可以表示成y kx b b为常数 k不等于0 的形式 则称y是x的一次函数 x为自变量 y为因变量 当b 0时 称y是x的正比例函数 一次函数 1 在函数 1 y 2 y x 5 3 y 4x 4 y 2x 3x 5 y x 2 6 y 中是一次函数的是 是正比例函数的是 2 若函数y 6 3m x 4n 4是一次函数 则m n应该满足的条件是 若是正比例函数 则m n应该满足是 3 当k 时 函数y k 3 x 5是关于x的一次函数 3x 1x 2 2 2 3 3 m 2 n为任意实数 m 2 n 1 k 8 2 3 下列语句中 具有正比例函数关系的是 长方形花坛的面积不变 长y与宽x之间的关系 正方形的周长不变 边长x与面积S之间的关系 三角形的一条边不变 这条边上的高h与S之间的关系 D 圆的面积为S 半径为r S与r之间的关系 C 例1写出下列各题中y与x之间的关系式 并判断 y是否为x的一次函数 是否为正比例函数 1 汽车以60千米 时的速度匀速行驶 行驶路程为y 千米 与行驶时间x 时 之间的关系 解 由路程 速度 时间 得y 60 x y是x的一次函数 也是x的正比例函数 1 2 5 6 2 2 下列函数中 一次函数有 正比例函数有 下列说法正确的是 A正比例函数是一次函数B正比例函数不是一次函数C一次函数是正比例函数D不是正比例函数就不是一次函数 A 函数y m 1 x m 2 当m 时 它是一次函数 当m 时 它是正比例函数 1 2 例1 画出一次函数y 2x 1的图象 先列表 再描点连线 1 2 1 2 1 3 x y 3 4 2 1 5 y 2x 1 1 列表 作函数图象的步骤 0 2 描点 3 连线 3 1 1 3 5 2 1 0 1 2 2 3 2 3 1 1 0 1 1 3 2 5 2 3 1 1 0 1 1 3 2 5 2 在所作的图象上取几个点 找出它们的横坐标和纵坐标 并验证它们是否都满足关系y 2x 5 1 2 1 2 1 3 3 4 2 1 5 x y 3 0 y 2x 5 1 3 2 1 1 5 2 1 当x 1时 y 2 1 5 2 5 3 2 当x 1 5时 y 2 1 5 5 3 5 2 3 当x 2时 y 2 2 5 4 5 1 图象上所有的点都满足关系式 一次函数的图象 所有的一次函数的图象都是一条直线 由此结论可知做一次函数图象的另一方法 两点法 一次函数y kx b图象 习惯上也称为直线y kx b 1 作函数图象有几个步骤 2 一次函数图象有什么特点 3 作出一次函数图象需要描出几个点 列表 描点 连线 一次函数图象是一条直线 只需要描出两个点 0 b 6 如果y 3与x 2成正比例 且x 1时 y 1 1 写出y与x之间的函数关系式 2 画出函数的图象 3 求当x 0时 y的值和y 0时 x的值 x y o 减小 增大 一 三 二 四 你知道吗 b b b b b b 常数项决定一次函数图象与轴交点的位置 b y 一 二 三 想一想 2 直线的位置关系如何 3 直线的位置关系如何 想一想 你清楚了吗 一次函数的图象是一条直线 一次项系数确定直线的倾斜程度 当时 两直线平行 当时 两直线相交 同一平面内 不重合的两直线 比一比 看谁画得快 一次函数的图象如图所示 你能画出一次函数和 的图象吗 1 你能找出下面的四个一次函数对应的图象吗 请说出你的理由 练一练 2 1 判断下列各组直线的位置关系 平行 相交 2 已知直线与一条经过原点的直线平行 则这条直线的函数关系式为 练一练 3 1 一次函数的图象经过 象限 随的增大而 2 一次函数的图象如图所示 则下列结论正确的是 A B C D 二 四 减小 B 练一练 练一练 若一次函数y 2x b的图象经过 1 1 则b 该函数图象经过点 1 和点 如图 直线l是一次函数y kx b的图象 填空 1 b k 2 当x 30时 y 3 当y 30时 x 解 设直线l为y kx b l与直线y 2x平行 k 2又直线过点 0 b b 2 原直线为y 2x 2 已知直线l与直线y 2x平行 且与y轴交于点 0 2 求直线l的解析式 1 一次函数y 2x 4的图象与x轴交点坐标是与y轴交点坐标是图象与坐标轴所围成的三角形面积是 2 0 0 4 4 2 已知一次函数y kx b的图象如图所示 则k b的符号是 A k 0 b 0 B k 0 b0 D k 0 b 0 D 3 已知一次函数y kx b y随着x的增大而减小 且kb 0 则在直角坐标系内它的大致图象是 A B C D A 4 经过点 2 0 且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线的表达式是 作出函数y 3 2x的图像 根据图像回答下列问题 1 y的值随X值的增大而 2 图像与x轴的交点是图像与y轴的交点是 3 当x时 y 0当x时 y 0当x时 y 0 减小 第七章二元一次方程组 小明和小亮解同一个关于 的方程组 小明把方程 抄错了 得解为 而小亮把方程 抄错了 得解为 你能根据上面的结果 正确地球出原方程组的解吗 2 已知和 都是方程 的解 求 的值 1 方程组 的解互为相反数 求a的值 上面所列方程各含有几个未知数 含有未知数的项的次数是多少 2个未知数 次数是1 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 叫做这个二元一次方程的一个解 例如 是方程的一个解 记作 一个二元一次方程有无数个解 二元方程组中各个方程的公共解 叫做这个二元一次方程组的解 是否为方程的一个解 是否为方程的一个解 6 如果是方程组的解 那么m n 7 写出一个以为解的二元一次方程为 5 二元一次方程的正整数解是 练一练 5 1 答案不唯一 练一练 例 用图象法解方程组 由 得 解 由 得 取点 2 0 0 1 作出直线 取点 1 0 0 2 作出直线 观察图象得出交点为 2 2 三 解二元一次方程组的新方法 图象法 例2如图 直线的交点坐标是 求两条直线y 3x 2与y 2x 4和 轴所围成的三角形的面积 答案 如图 两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解 答案 2 3 x y 0 多边形 n边形 内角和公式 1800 n 2 议一议 1 一个多边形的边都相等 它的内角一定都相等吗 2 一个多边形的内角都相等 它的边一定都相等吗 3 正三角形 正四边形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形的内角分别是多少度 菱形 矩形 答 正三角形 正四边形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形的内角分别是 答 不一定 如菱形的边都相等 但内角不一定都相等 答 不一定 如矩形的内角都是直角 但边不一定都相等 正n边形的内角是 练一练 6 若正n边形的一个内角是144 那么n 解 由n边形的内角和公式可得 n 2 180 144n 180n 360 144n 180n 144n 360 36n 360 n 10 10 一个多边形当边数增加1时 它的内角和增加多少度 例题2 解 设边数为n 则内角和等于 n 2 180 当边数增加1时 内角和等于 n 1 2 180 n 1 2 180 n 2 180 n 180 180 n 180 360 180 内角和增加180 例1已知一个多边形 它的内角和等于外角和的2倍 求这个多边形的边数 解 设多边形的边数为n 因为它的内角和等于 n 2 180 外角和等于360 所以 n 2 180 360 2解得n 6 密铺 只有三角形 四边形 正六边形可以单独密铺 第二章 实数回顾与思考 北师大版八年级上册 实数的分类 实数 有理数 无理数 实数 正实数 负实数 0 正数集合 负数集合 有理数集合 无理数集合 特别注意 带根号的不一定是无理数 如 不带根号的也不一定是有理数 如 即根号并不是衡量标准 1 算术平方根的定义是什么 复习回顾 2 算术平方根有哪些性质 A 1 一个正数的算术平方根是一个正数 2 0的算术平方根是0 3 负数没有算术平方根 B 具有双重非负性 1 a 0 2 0 1 平方根的定义 2 平方根的性质 a 0 正数有两个平方根且互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 1 立方根的定义 2 立方根的性质 1 一个正数有一个正的立方根 2 一个负数有一个负的立方根 3 0的立方根是0 说明 一个数与其立方根同号 任何数都有立方根 且唯一一个 a为任意实数 实数a 它的算术平方根是 它的平方根是 它的立方根是 注意要弄清 的意义 不能用来表示a的平方根 如 64的平方根不要写成 4 5 9 3 3 9的平方根是 16的算术平方根是 4 练习 在数轴上找出对应的点 实数a b c在数轴上的对应点如图所示 化简 a b c o 还记得吗 新的用法 实数的运算 练一练 化简结果一定要化到最简式 1 化简 2 化简 X 1 X 7 两边直接开平方法 o a b 回顾与思考 第四章特殊的平行四边形 庆安中学 数学组 边 对角线 平行四边形的性质 角 对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 复习回顾 1 平行四边形有哪些性质 平行四边形共有五种判别方法 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行线间的距离处处相等 边 对角线 菱形的性质 角 对边平行且相等 四条边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形 有2条对称轴 分别是两条对角线所在的直线 菱形的性质 菱形的面积 底X高 对角线积的一半 3 菱形的判别方法 边 一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2 已知如图 菱形ABCD中 E是AB的中点 且DE AB AE 2 求 1 ABC的度数 2 对角线AC BD的长 3 菱形ABCD的面积 8 如图 AD是 ABC的角平分线 DE AC交AB于E DF AB交AC于F 四边形AEDF是菱形吗 说说你的理由 DE AC DF AB 四边形AEDF是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 又 AD平分 BAC 1 2 DE AC 2 3 1 3 等量代换 AE DE AEDF是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 10 如图 两张等宽的纸条交重叠在一起 重叠的部分ABCD是菱形吗 为什么 10 如图 两张等宽的纸条交重叠在一起 重叠的部分ABCD是菱形吗 为什么 边 对角线 矩形的性质 角 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对称性 是轴对称图形 有2条对称轴 2 矩形的性质 O 在左图Rt ABC中 OB与AC有何关系 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 OB AC 已知 在矩形ABCD中 两条对角线AC BD相较于点O 3 矩形的判别方法 1 角 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 边 对角线 正方形的性质 角 对边平行且相等 四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等 互相垂直且平分 并且每一条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形 有4条对称轴 2 正方形的性质 合作探究 如图 四边形ABCD是正方形 两条对角线相交于点O 求 AOB OAB的度数 1 梯形的定义及类型 2 等腰梯形的性质 1 两底平行 两腰相等AD BC AB CD 2 同一底上的两角相等 A D B C 3 对角线相等AC BD 4 是轴对称图形 3 数学思想 转化思想 边 对角线 角 对称性 通过添加适当的辅助线 把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决 平移对角线 解决梯形问题的常用辅助线 平移一腰 作高线 延长两腰 转化思想 在等腰梯形ABCD中 AB CD AD BC 对角线AC与BD相交于点O 过点C作CE DB交AB延长线于点E E 1 请判断 ACE的形状 并说明你的理由 2 若AC BD 则 ACE是三角形 等腰直角 3 7 平移对角线 5 已知等腰梯形ABCD AB CD 对角线AC BD CD 4cm AB 8cm 求梯形的高 1 等腰梯形的判定方法 两腰相等的梯形是等腰梯形 1 定义判定 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 2 判定定理 对角线相等的梯形是等腰梯形 6 如图 AE BE DE CE 四边形ABCD是等腰梯形吗 为什么 回顾与思考 第一章勾股定理 庆安中学 数学组 重要知识点 1 什么是勾股定理 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 2 什么是勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 常见的勾股数有 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 9 40 41 合作探究1 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这块地的面积 1如图 有一块形状为四边形的钢板 量得AB 9cm BC 12cm CD 17cm DA 8cm 且 B 90 请你求出这块钢板的面积 1 有一张直角三角形纸片 两直角边AC 12 BC 16 将 ABC折叠 使点B和点A重合 折痕为DE 求剩余部分CD的长 2 如图 一架2 5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC上 这时梯足B到墙底端C的距离为0 7米 如果梯子的顶端沿墙下滑0 4米 那么梯足将向外移多少米 3 如图 长方体的长为15 宽为10 高20 点B离点C的距离是5 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B 需要爬行的最短距离是多少 中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 5 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣的问题 这个问题的意思是 有一个水池 水面是一个边长为10尺的正方形 在水池的中央有一根新生的芦苇 它高出水面1尺 如果把这根芦苇垂直拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 解 设水池的水深AC为x尺 则这根芦苇长为AD AB x 1 尺 在直角三角形ABC中 BC 5尺 由勾股定理得 BC2 AC2 AB2 即52 x2 x 1 2 25 x2 x2 2x 1 2x 24 x 12 x 1 13 答 水池的水深12尺 这根芦苇长13尺 怎样计算AB 在Rt AA B中 利用勾股定理可得 侧面展开图 其中AA 是圆柱体的高 A B是底面圆周长的一半 r 5 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端 并在绳子上打了一个结 然后将绳子拉到离旗杆底端5米处 发现此时绳子底端距离打结处约1米 请设法算出旗杆的高度