初中数学创新性开放性.ppt

创新型 开放型问题 第二讲 曾庆坤 第一类 找规律问题这类问题要求大家通过观察 分析 比较 概括 总结出题设反映的某种规律 进而利用这个规律解决相关问题 例1 观察下列算式 21 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256通过观察 用你所发现的规律写出89的末位数字是 8 例1 观察下列算式 21 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256通过观察 用你所发现的规律写出89的末位数字是 第二类 探求条件问题这种问题是指所给问题结论明确 而寻求使结论成立的条件 大致有三种类型 1 条件未知需探求 2 条件不足需补充条件 3 条件多余或有错 需排除条件或修正错误条件 例2 已知 如图 AB AC分别是 O的直径和弦 D为劣弧AC上一点 DE AB于点H 交 O于点E 交AC于点F P为ED的延长线上一点 1 当 PCF满足什么条件时 PC与 O相切 为什么 2 当点D在劣弧AC的什么位置时 才能使AD2 DE DF 为什么 分析 要知PC与 0相切 需知PC OC 即 PCO 90 CAB AFH 90 而 CAB OCA AFH PFC PFC OCA 90 当 PFC PCF时 PCO 90 解 1 当PC PF 或 PCF PFC 或 PCF为等边三角形 时 PC与 O相切 连结OC 则 OCA FAH PC PF PCF PFC AFH DE AB OCA PCF FAH AFH 900即OC PC PC与 O相切 2 当点D在劣弧AC的什么位置时 才能使AD2 DE DF 为什么 分析 要使AD2 DE DF需知 ADF EDA证以上两三角形相似 除公共角外 还需证 DAC DEA故应知AD CD 解 2 当点D是AC的中点时 AD2 DE DF 连结AE AD CD DAF DEA又 ADF EDA DAF DEA 即AD2 DE DF 第三类 探求结论问题这类问题是指题目中的结论不确定 不惟一 或结论需要通过类比 引申 推广或由已知特殊结论 归纳出一般结论 例3 已知 O1经过 O2的圆心O2 且与 O2相交于A B两点 点C为AO2B上的一动点 不运动至A B 连结AC 并延长交 O2于点P 连结BP BC 1 先按题意将图1补完整 然后操作 观察 图1供操作观察用 操作时可使用量角器与刻度尺 当点C在AO2B上运动时 图中有哪些角的大小没有变化 2 请猜想 BCP的形状 并证明你的猜想 图2供证明用 3 如图3 当PA经过点O2时 AB 4 BP交 O1于D 且PB DB的长是方程x2 kx 10 0的两个根 求 O1的半径 例3 已知 O1经过 O2的圆心O2 且与 O2相交于A B两点 点C为AO2B上的一动点 不运动至A B 连结AC 并延长交 O2于点P 连结BP BC 1 先按题意将图1补完整 然后操作 观察 图1供操作观察用 操作时可使用量角器与刻度尺 当点C在AO2B上运动时 图中有哪些角的大小没有变化 2 请猜想 BCP的形状 并证明你的猜想 图2供证明用 2 证明 连结O2A O2B 则 BO2A ACB BO2A 2 P ACB 2 P ACB P PBC P PBC BCP为等腰三角形 3 如图3 当PA经过点O2时 AB 4 BP交 O1于D 且PB DB的长是方程x2 kx 10 0的两个根 求 O1的半径 连结O2O1并延长交AB于E 交 O1于F设 O1 O2的半径分别为r R O2F AB EB 1 2AB 2 PDB PO2A是 O1的割线 PD PB PO2 PA 2R2 PB BD是方程x2 kx 10 0的两根 PB BD 10 EF EO2 AE BE EF 4 3 r 1 2 3 4 3 13 6 O1的半径为13 6 PD PB PB BD PB PB2 PB BD PB2 10 PB2 10 2R2 AP是 O2的直径 PBA 90 PB2 PA2 AB2 PB2 4R2 16得R 在Rt O2EB中 O2E 由相交弦定理得 第四类 存在性问题 存在性问题是指在一定件下某数学对 象是否存在的问题 例 4 抛物线 y ax 2 bx c a 0 过 P 1 2 Q 1 2 且与 X 轴交于 A B 两点 A 在 B 的左 侧 与 Y 轴交于 C 点 连结 AC BC 1 求 a 与 c 的关系式 2 若 O 为坐标原点 求抛物线的解析式 3 是否存在满足条件 tan CAB 穧 cot CBA 1 的 抛物 线 若存在 请求出抛物线的解析式 若不存 在 请说明理由 解 1 将P 1 2 Q 1 2 代入解析式得解方程组得a c 0 b 2 a c的关系式是a c 0或a c 例4 抛物线y ax2 bx c a 0 过P 1 2 Q 1 2 且与X轴交于A B两点 A在B的左侧 与Y轴交于C点 连结AC BC求a与c的关系式若 O为坐标原点 求抛物线的解析式3 是否存在满足条件tan CAB cot CBA 1的抛物线 若存在 请求出抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 2 由 1 知b 2 所以y ax2 2x c设A x1 0 B x2 0 则x1 x2 c a 但a c 所以x1 x2 0这说明A B在原点两侧 A在B的左侧 所以OA x1 OB x2 OC c a 已知故有即平方后得而 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2把x1 x2 2 a x1 x2 1代入上式中 得到关于a的方程 解方程求得a c从而求出解析式 2 设A B的坐标分别为 x1 0 x2 0 则x1 x2是方程ax2 2x c 0的两个根 x1 x2 2 a x1x2 1因此A B两点分别在原点两侧 因为A在B的左侧 所以x1 0 x2 0 故OA x1 OB x2 OC c a 由得即 平方后得又于是得4 a2 4 16 a2 解之得a c 所以解析式为 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 例4 抛物线y ax2 bx c a 0 过P 1 2 Q 1 2 且与X轴交于A B两点 与Y轴交于C点 连结AC BC求a与c的关系式若 O为坐标原点 求抛物线的解析式3 是否存在满足条件tan CAB cot CBA 1的抛物线 若存在 请求出抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 3 假设满足条件的解析式存在由tan CAB cot CBA 1得 OC OA OB OC 1 从而有OA OB这说明A B一定在原点两侧 所以 x1 x2即x1 x2 0 所以 b a 0 因而b 0这与b 2相矛盾 故假设错误 所以不存在这样的抛物线