刚体定轴转动的角动量转动惯量.ppt

7 3刚体定轴转动的角动量 转动惯量 7 3 1刚体定轴转动对轴上一点的角动量 7 3 2刚体对一定转轴的转动惯量 7 3 3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 7 3 4刚体的重心 7 3 5典型例子 7 3刚体定轴转动的角动量 转动惯量 7 3 1刚体定轴转动对轴上一点的角动量 1 转轴为对称轴 如图 对O点 因m1 m2 m 故总角动量 2 转轴为非对称轴 如图 对O点同样有 总角动量与转轴成 角 刚体绕对称轴转动时 刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同 一般情况 刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向 而是与之成一定夹角 7 3 2刚体对一定转轴的转动惯量 质点系对点的角动量 设刚体绕Oz轴转动 刚体角动量在z轴的投影 刚体对z轴转动惯量 刚体对z轴角动量 转动惯量是转动惯性的量度 1 转动惯量 二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 动画演示 质量离散分布刚体的转动惯量 质量连续分布刚体的转动惯量 质量元 转动惯量的计算方法 刚体的质量 或体积元的密度 刚体的转动惯量与以下三个因素有关 刚体质量的分布情况 质量分布得离轴越远则转动惯量越大 转轴的位置 例1 求均质圆盘 m R 过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量 解 盘由许多环组成 2 几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒 圆环 I mR2 圆柱 细圆棒 圆球 球壳 3 回转半径 任何转动惯量均有 I mk2 k称为回转半径 质量相同的刚体 I k 1 平行轴定理 对C A轴平行C轴 质心轴 对A 由图 故 平行轴定理 4 反映转动惯量性质的定理 2 垂直轴定理 正交轴定理 3 可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成 则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加 只适应于无穷小厚度的薄板 例题 P226例2 例3 解设棒的线密度为 取一距离转轴OO 为处的质量元 例题一质量为 长为的均匀细长棒 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 如转轴过端点垂直于棒 由平行轴定理 7 3 3刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 一 刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式 角动量定理积分形式 其中 称为冲量矩 或角冲量 二 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动I 常量 刚体定轴转动的转动定理 说明 其中是描述物体平动惯性的物理量 则就是描述刚体绕轴的转动惯性的物理量 是刚体绕轴转动惯性大小的量度 验证刚体定轴转动定理的演示实验 动画演示 例如图所示 质量均为m的两物体A B A放在倾角为的光滑斜面上 通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连 定滑轮是半径为R的圆盘 其质量也为m 物体运动时 绳与滑轮无相对滑动 求绳中张力和及物体的加速度 轮轴光滑 解 作受力分析图 对于A B 由牛顿定律得 且 由于绳不可伸长 所以 解得 对定滑轮 由转动定律得 又 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 内力矩不改变系统的角动量 守恒条件 若不变 不变 若变 也变 但不变 三 刚体定轴转动的角动量守恒定律 解 在啮合过程中 系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力 前者对轴的力矩为零 后者对转轴有力矩 但为系统的内力矩 系统所受合外力矩为零 所以系统的角动量守恒 即 例在工程上 两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动 如图所示 A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上 A轮的转动惯量为 B轮的转动惯量为 开始时A轮每分钟的转速为600转 B轮静止 C为摩擦啮合器 求两轮啮合后的转速 在啮合过程中 摩擦力矩作功 机械能不守恒 损失的机械能转化为内能 把各量代入上式 得 为两轮啮合后的共同角速度 于是 7 3 4刚体的重心 重心 刚体处于不同方位时 重力作用线都要通过的那一点 如图 被悬挂刚体处于静止 C为重心 因C不动 可视为转轴 因为刚体静止 所以诸体元重力对C轴合力矩为零 则重心坐标与质心坐标同 但概念不同 质心是质量中心 其运动服从质心运动定理 重心是重力合力作用线通过的那一点 若取 7 3 5典型例子 例题2 如图 a 表示半径为R的放水弧形闸门 可绕图中左方质点转动 总质量为m 质心在距转轴处 闸门及钢架对质点的总转动惯量为 可用钢丝绳将弧形闸门提起放水 近似认为在开始提升时钢架部分处于水平 弧形部分的切向加速度为a 0 1g g为重力加速度 不计摩擦 不计水浮力 1 求开始提升时的瞬时 钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力 2 若以同样加速度提升同样重量的平板闸门 图 b 需拉力是多少 解 1 以弧形闸门及钢架为隔离体 受力如图 a 所示 建立直角坐标系Oxy 向x及y轴投影得 根据转动定理 起动时 根据质心运动定理 即起动瞬时绳对闸板的拉力为 质点O对闸门钢架的支承力竖直向上 大小等于29mg 90 2 用表示提升平板形闸门所用的拉力 对闸门应用牛顿第二定律 得 比较上面结果 可见提升弧形闸门所用的拉力较小 例题3 如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置 待测刚体装在转动架上 线的一端绕在转动架的轮轴上 线与线轴垂直 轮轴的轴体半径为r 线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物 已知转动架惯量为I0 并测得m自静止开始下落h高度的时间为t 求待测物体的转动惯量I 不计两轴承处的摩擦 不计滑轮和线的质量 线的长度不变 解 分别以质点m和转动系统I I0作为研究对象 受力分析如图 作业 P2547 3 3 7 3 7