二对坐标的曲线积分的计算法.ppt

二 对坐标的曲线积分的计算法 三 两类曲线积分间的联系 一 对坐标曲线积分的概念 第四节对坐标的曲线积分 第五模块二重积分与曲线积分 一 对坐标曲线积分的概念 引例变力沿曲线所作的功 设一质点 在力F x y P x y i Q x y j的作用下 在xy平面上沿曲线L 从点A移动到点B 求变力F x y 所作的功 将有向弧段L任分为n个有向子弧段 即用点A M0 x0 y0 M1 x1 y1 Mn xn yn B 把有向曲线L分成n个有向小段 它相应的有向弦段为 B Mn Mi Mi 1 M2 M1 A M0 xi yi O x y 其中 xi xi xi 1 yi yi yi 1是有向小弧段Mi 1Mi分别在x轴和y轴上的投影 如果函数P x y Q x y 在L上连续 则在每段小弧段上 它们的变化就不会太大 F xi hi P xi hi i Q xi hi j P xi hi xi Q xi hi yi 于是变力F x y 在有向曲线弧MoMn上所作功的近似值为 令 表示n个小弧段的最大弧长 当 0时 上式的右端极限如果存在 则这个极限就是W的精确值 即 上述和式的极限 就是如下两个和式的极限 与 定义设L为xy平面上由点A到点B的有向光滑曲线 即 xi xi xi 1 yi yi yi 1 作和式 记 为n个小弧段的最大弧长 且函数P x y Q x y 在L上有定义 由点A到点B把L任意地分成n个有向小弧段 记分点为 如果 存在 则称此极限值为函数P x y Q x y 在有向曲线 上对坐标x 对坐标y 的曲线积分 记作 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分 在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起 即 简记为 称之为组合曲线积分 设 是有向曲线弧 记 是与 方向相反的有向曲线弧 则对坐标的曲线积分有如下的性质 或 若 1 2 则 二 对坐标曲线积分的计算法 设有向曲线L的参数式方程为 x x t y y t 又设t a对应于L的起点 t b对应于L的终点 这里a不一定小于b 当t由a变到b时 点M x y 描出有向曲线L 如果x t y t 在以a b为端点的闭区间上具有一阶连续的导数 函数P x y Q x y 在L上连续 则 11 2 1 11 2 2 证明从略 对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 其要点是 1 因为P x y Q x y 定义在曲线L上 所以x y应分别换为x t y t 2 dx dy是有向小曲线段在坐标轴上的投影 dx x t dt dy y t dt 3 起点A对应的参数t a是对t积分的下限 终点B对应的参数t 是对t积分的上限 如果有向曲线L的方程为y y x 则 这里a是曲线L的起点的横坐标 b是曲线L的终点的横坐标 a不一定小于b 如果L的方程为x x y 则有 其中c是曲线L的起点的纵坐标 d是曲线L的终点的纵坐标 c不一定小于d 上式右端的第二个曲线积分化为定积分时 例1试计算曲线积分 其中L为沿着抛物线y x2 从点O 0 0 到点A 2 4 再沿直线由点A 2 4 到点B 2 0 解由于曲线积分对路径具有可加性 因此 L2为直线段AB 因为dx 0 所以它的值为零 又L1的方程为y x2 故 A 2 4 B 2 0 x 2 y x2 L1 L2 O 例2试计算曲线积分其中积分路径为 1 在椭圆 从点A a 0 经第一 二 三象限到点B 0 b 2 在直线上 从点A a 0 到点B 0 b y x A O B 解 1 因为所给椭圆的参数方程为 且起点A对应的参数t 0 所以有 终点B对应的参数 当t由0增大到 2 因为所给线段AB所在的直线方程为 且起点A对应于x a 终点B对应于x 0 所以 三 两类曲线积分间的联系 则 y x O A B dy dx dl t