向量的内积长度及正交性ppt课件

1向量的内积 长度及正交性 一 内积的定义及性质 二 向量的长度及性质 三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵与正交变换 1 一 内积定义及性质 1 定义1设有n维向量 令 x y x1y1 x2y2 xnyn 称 x y 为向量x与y的内积 Innerproduct 说明1 n n 4 维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 2 若向量x与y均为列向量 内积可用矩阵记法表示为 x y xTy 2 2 内积的运算性质 其中x y z为n维向量 为实数 1 x y y x 2 x y x y 3 x y z x z y z 4 当x 时 x x 0 当x 时 x x 0 施瓦茨 Schwarz 不等式 x y 2 x x y y 3 1 定义2令 二 向量的长度及性质 称 x 为n维向量x的长度 或范数 向量的长度具有下述性质 1 非负性 当x 时 x 0 当x 时 x 0 2 齐次性 x x 3 三角不等式 x y x y 4 x y x y 当 x y 0时 有 4 2 当 x 1时 称x为单位向量 若 则 为单位向量 若 称为把向量 单位化 5 解 3 当 x y 0时 称为向量x与y的夹角 6 1 当 x y 0时 称向量x与y的正交 三 正交向量组的概念及求法 有 x y 0 故向量x与y正交 由定义可知 若x 时 则x与任何向量都正交 2 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 定理若n维向量 1 2 r是正交向量组 则 1 2 r线性无关 7 证明 定理若n维向量 1 2 r是正交向量组 则 1 2 r线性无关 8 3 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组 4 向量空间的正交基 9 例1已知R3空间中两个向量正交 试求 3使 1 2 3构成R3的一个正交基 解题分析 即求 3使 1 2 3为正交向量组 解 设 3 x1 x2 x3 T 且与 1 2正交 则有 解得 令x3 1 得 3 1 0 1 T 则 1 2 3构成R3的一个正交基 10 5 规范正交基 例如 定义 标准 11 同理可知 初始单位向量组 12 6 求规范正交基的方法 下面介绍施密特正交化方法 Gram Schmidtorthogonalization smethod 13 1 正交化取b1 a1 2 单位化 14 例2用施密特正交化方法将向量组正交规范化 解 取b1 a1 1 1 1 1 T 15 单位化得如下规范正交向量组 16 例2 解 定义4 四 正交矩阵与正交变换 定理A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交 例5判别下列矩阵是否为正交阵 18 正交矩阵的性质 定义若P为正交阵 称线性变换y Px为正交变换 性质正交变换保持向量的长度不变 证明 19 1 施密特正交化方法将一组基规范正交化的方法 五 小结 2 A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 20