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第55讲 两直线的位置关系
1．一条光线从点(5,3)射入，与x轴正向成α角，遇x轴后反射，若tan α＝3，则反射线所在的直线方程为(D)
A. y＝3x－12 B. y＝－3x－12
C. y＝3x＋12 D. y＝－3x＋12
反射线所在的直线过点(5，－3)，
斜率k＝－tan α＝－3，
由点斜式得y＋3＝－3(x－5)，即y＝－3x＋12.
2．(2017江西景德镇二模)若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m的值等于(D)
A．0或－1或3 B．0或3
C．0或－1 D．－1或3
当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时两直线不平行；
当m≠0时，由于l1∥l2，则＝，解得m＝－1或3.
经检验满足条件．
综上，m＝－1或3.
3．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的(B)
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
容易检验当m＝时，两条直线互相垂直，所以可以否定C和D.观察两个方程的系数，不难得到，当m＋2＝0时，即m＝－2时，两条直线也互相垂直，故选B.
4．(2017广州市二测)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(D)
A．{－，} B．{，－}
C．{－，，} D．{－，－，}
记l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，
l1，l2，l3不构成三角形，当且仅当：l3∥l1或l3∥l2或l1、l2、l3相交于同一点．
①l3∥l1，得m＝；
②l3∥l2，得m＝－；
③l1与l2的交点为(－1，－)∈l3，
得－m＋－1＝0，得m＝－.
综上，实数m的取值集合为{－，－，}．
5．直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋c＝0垂直于点(1，m)，则a＝ 10 ，c＝ －12 ，m＝ －2 .
因为两直线互相垂直，所以－＝－1，
所以a＝10.
又两直线垂直于点(1，m)，所以(1，m)在直线l1和l2上，
所以101＋4m－2＝0，所以m＝－2，
再将(1，－2)代入2x－5y＋c＝0，
得21－5(－2)＋c＝0，得c＝－12.
6．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为 25 .
由两直线平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1，
又a，b为正数，
所以2a＋3b＝(2a＋3b)(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25.
当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.
7．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1、k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上.
(1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.
此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，
即l1与l2相交．
(2)(方法一)由方程组
解得交点P的坐标(x，y)满足
而2x2＋y2＝2()2＋()2
＝＝＝1.
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
(方法二)交点P的坐标(x，y)满足
故x≠0，从而代入k1k2＋2＝0，
得＋2＝0，整理得2x2＋y2＝1.
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
8．(2018湖南长郡中学联考)已知f(x)为奇函数，函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，若g(1)＝4，则f(－3)＝(A)
A．－2 B．2
C．－1 D．4
因为g(1)＝4，所以(1,4)在g(x)的图象上，
因为f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，
所以(1,4)关于y＝x＋1的对称点在y＝f(x)的图象上，
因为(1,4)关于y＝x＋1的对称点为(3,2)，
所以f(3)＝2，
又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2.
9．(2017江西南昌模拟)m∈R，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过定点，此定点的坐标为 (3,1) .
直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
即(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
由解得
故直线过定点(3,1)．
10．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
(1)设A′(x，y)，由已知条件有：
解得所以A′(－，)．
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上，设对称点为M′(a，b)，则
解得M′(，)．
设m与l的交点为N，
由得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0为所求．
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