2019届高三数学上学期五调考试试卷 文(含解析).doc

2019届高三数学上学期五调考试试卷 文(含解析) 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可. 【详解】因为,又，所以.故选A. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型. 2.满足（是虚数单位）的复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将原式子变形为z=-i1-i，再由复数的除法运算得到结果. 【详解】∵z+iz=i，∴z+i=zi，即z=-i1-i=-i1+i1-i1+i=-i+12=12-12i， 故选A. 【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 3.已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（ ）． A. 9 B. 3 C. −3 D. −6 【答案】D 【解析】 分析：利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2 详解：：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列， ∴（a1+4）2=a1（a1+6）， ∴a1=-8， ∴a2=-6． 故选D. 点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了xx1月至xx11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图. 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D 【解析】 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数； 月跑步平均里程不是逐月增加的； 月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错. 本题选择D选项. 5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为(2m，m)（其中m<0），则cos2α= A. −45 B. −35 C. 35 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义，求得sinα=m-5m=-55，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，可知角α中终边上一点P的坐标为(2m,m)且m<0 ，则OP=5m=-5m， 所以sinα=m-5m=-55， 又由cos2α=1-2sin2α=1-2-55 =35，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得sinα的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. y=2x B. y=3x C. y=x D. y=2x 【答案】A 【解析】 【分析】 作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，可得OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b，结合双曲线定义可得b=2a从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B， ∵F1M与圆x2+y2=a2相切，∠F1MF2=45 ∴OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b 又点M在双曲线上， ∴F1M-F2M=2a+2b-22a=2a 整理，得b=2a， ∴ba=2 ∴双曲线的渐近线方程为y=2x 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题. 7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ） A. 2732cm3 B. 92cm3 C. 932cm3 D. 272cm3 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥， V=13Sh=1312(2+4)3323=923cm3 故选C. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸. 8.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，且CC1⊥底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角为(　　) A. π2 B. C. D. π3 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解． 【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角， 在△A2BM中，A2B=2a，BM=a2+(a2)2=52a， A2M=a2+(3a2)2=132a， ∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=π2, ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做． 9.在等腰直角三角形ABC中，∠C=900,CA=2，点P为ABC所在平面上一动点，且满足BP=1,求BP⋅(CA+CB)的取值范围 A. −22,0 B. 0,22 C. −2,2 D. −22,22 【答案】D 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出BP(CA+CB)的取值范围． 【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0）， 由|BP|=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上， 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）； 则BP=（cosθ，sinθ）， 又CA+CB=（2，2）； ∴BP•（CA+CB）=2cosθ+2sinθ=22sin（θ+π4）， 当θ+π4=π2，即θ=π4时，BP•（CA+CB）取得最大值22， 当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，BP•（CA+CB）取得最小值﹣22， ∴BP•（CA+CB）的取值范围是[﹣22，22]． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 10.如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′−BD⊥平面BCD，若四面体A′−BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 3π B. 32π C. 4π D. 34π 【答案】A 【解析】 【分析】 设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径. 【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E， 因为AB＝AD＝1，BD＝2 由勾股定理得：BA⊥AD 又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形 所以DE为球体的半径 DE=32 S=4π(32)2=3π 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程. 11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，且直线与圆x2-px+y2-34p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|，则直线的斜率为 A. 22 B. 32 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是CD为圆的直径，所以|AB|=2|CD|=4p．设直线l:x=ty+p2，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得|AB|=2p(1+t2)=4p，于是得到t=1． 【详解】由题设可得圆的方程为(x-p2)2+y2=p2， 故圆心为(p2,0)，为抛物线的焦点， 所以CD=2p, 所以|AB|=4p． 设直线l:x=ty+p2,代入y2=2px(p>0)得y2-2pty-p2=0， 设直线l与抛物线C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则y1+y2=2pt,y1y2=-p2， 则|AB|=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p， 所以1+t2=2，解得t=1． 故选C． 【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力． (2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为AB=1+k2Δa，其中k表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去y化简后得到的二次方程ax2+bx+c=0中x2的系数，Δ =b2-4ac是ax2+bx+c=0的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为AB=yA-yB． 12.已知定义在R上的函数fx=lnx,x>1x2−x,x≤1，若函数Fx=fx−ax恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. −∞,−1∪0∪1e,+∞ B. −∞,−1∪0∪1e,1 C. −1,−1e∪0∪1e,1 D. −1,−1e∪0∪1e,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 将函数Fx=fx-ax恰有2个零点转化为两函数y=fx与y=ax有两不同交点，作出函数图像即可求出结果. 【详解】由题意函数Fx=fx-ax恰有2个零点，即是方程fx-ax=0有两不等实根，即是两函数y=fx与y=ax有两不同交点，作出函数图像如下图， 易得当a∈-∞,-1∪1e,1∪{0}时，有两交点，即函数Fx=fx-ax恰有2个零点.故选B. 【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500.3000（元）段应抽出____________________人． 【答案】25 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出2500.3000段的频率，结合样本容量即可求出结果. 【详解】由题意，月收入在2500.3000（元）段的频率为0.0005500=0.25， 所以月收入在2500.3000（元）段应抽出的人数是1000.25=25. 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型. 14.ΔABC中，角A，B，C的对边分别为，b，，cosC=14，c=3，acosA=bcosB，则ΔABC的面积等于__________． 【答案】3154 【解析】 【分析】 先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得ΔABC的面积. 【详解】∵ acosA=bcosB ∴ sinAcosA=sinBcosB 化解得：sinAcosB-cosAsinB=sinA-B=0 即：A=B 又∵ cosC=14c=3 ∴ cosC=a2+b2-c22ab=14 解得：a=b=6 SΔABC=3154 【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化. 15.已知函数fx=x2lnx，若关于x的不等式fx−kx+1≥0恒成立，则实数k的取值范围是__________． 【答案】(−∞,1] 【解析】 ∵函数f(x)=x2lnx的定义域为{x|x>0}， f(x)−kx+1≥0恒成立,即x2lnx−kx+1≥0等价于k≤xlnx+1x， 令g(x)=xlnx+1x，则g′(x)=lnx+1−1x2， 令r(x)=lnx+1−1x2，则r′(x)=1x+2x3>0在(0,+∞)上恒成立， ∴g′(x)=lnx+1−1x2在(0,+∞)上单调递增，g′(1)=0 故当01时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则gmin(x)=g(1)=1， 故k≤gmin(x)=g(1)=1，故答案为(−∞,1]. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a>h(x)或ahmax(x)或a0)的最小正周期为2π． (1)求ω的值； (2)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(B)=2，a=3，△ABC面积S=334，求b． 【答案】(1)12(2)3 【解析】 【分析】 （1）化简f(x)=2sin(2ωx-π6) ，根据函数的最小正周期T=2π2ω=2π即可求出ω的值 2）由（1）知，f(x)=2sin(x-π6).由f(B)=2sin(B-π6)=2，求得B=2π3，再根据△ABC的面积SS=334，解得c=3，最后由余弦定理可求出b. 【详解】（1）f(x)=23sinωxcosωx-cos2ωx+sin2ωx =3sin2ωx-cos2ωx =2sin(2ωx-π6) 故函数的最小正周期T=2π2ω=2π，解得ω=12. （2）由（1）知，f(x)=2sin(x-π6).由f(B)=2sin(B-π6)=2，得B-π6=2kπ+π2（k∈Z）.所以B=2kπ+2π3（k∈Z）.又B∈(0,π)，所以B=2π3.△ABC的面积S=12acsinB=123csin2π3=334，解得c=3.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB =(3)2+(3)2-233cos2π3 =9，所以b=3. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题． 18.等差数列{an}的公差大于0，且a3,a5是方程x2−14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1−12bn． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记cn=an⋅bn,求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an=2n-1，bn=23n；（2）Tn=21-n+13n 【解析】 【分析】 （1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出an=a5+（n-5）d=2n-1；由Sn=1-12bn，推导出{bn}是等比数列，b1=23.，q=13，由此求出bn=b1qn-1=23n． （2）由（1）知cn=anbn=2(2n-1)3n，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn 【详解】（1）∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d>0， ∴a3=5，a5=9，公差d=a5-a35-3=2. ∴an=a5+(n-5)d=2n-1. 又当n=1时，有b1=S1=1－12b1  ∴b1=23. 当n≥2时,有bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn),∴bnbn-1=13(n≥2). ∴数列bn是等比数列，b1=23,q=13. ∴bn=b1qn-1=23n. （2）由（1）知cn=anbn=2(2n-1)3n ∴Tn＝23+632+1033+…+4n-23n ，① 13Tn=232+633+1034+…+4n-23n+1，② ①-②，得23Tn=23+432+433+…+43n-4n-23n+1=23+4191-13n-11-13-4n-23n+1=43-4n+43n+1 即 Tn=21-n+13n 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用． 19.如图，三棱柱中ABC−A1B1C1，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90. （1）求证：AC1⊥A1B； （2）求直线AB与平面A1B1C所成角的正切值. 【答案】（1）见解析；（2）63 【解析】 【分析】 (1)先证BC⊥平面A1C1CA,可得AC1⊥BC，再由四边形A1C1CA为正方形可得AC1⊥A1C，从而可得AC1平面A1BC，进而可得AC1⊥A1B； (2)由AC1平面A1BC可得∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出tan∠ABO. 【详解】证明（1）∵CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC 又∠ACB=90，即BC⊥AC，AC∩CC1=C， ∴BC⊥平面A1C1CA，AC1⊂平面A1C1CA， ∴AC1⊥BC. ∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为正方形， ∴AC1⊥A1C，又A1C∩BC=C， ∴AC1平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC， ∴AC1⊥A1B. （2）设AC1∩A1C=O，连接BO. 由（1）得AC1⊥平面A1BC， ∴∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角. 设BC=a，则AA1=AC=2a， ∴AO=12AC1=2a，BO=a2+2a2=3a， 在RtΔABO中，tan∠ABO=AOBO=63， ∴直线AB与平面A1BC所成角的正切值为63. 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型. 20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛. （1）求选出的2名都是高级导游的概率； （2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是30,50（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是20,40（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率. 【答案】（1）15；（2）78 【解析】 【分析】 (1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值； (2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果. 【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为A1,A2,A3，其中A2,A3为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为B1,B2,B3，其中B3为高级导游， 从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3； A1A3,A2B1,A2B2,A2B3；A3B1,A3B2,A3B3；B1B2,B1B3,B2B3；共15种， 其中选出的2名都是高级导游的有A2A3，A2B3，A3B3，共3种 所以选出的2人都是高级导游的概率为p=315=15. （2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x（单位：万元）， 乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y（单位：万元），则x∈30,50且y∈20,40， 则x≥y，属于几何概型问题 作图，由图可知S1=SΔDEF，S=SABCD， 所求概率为p=S-S1S=1-S1S=1-1210102020=78. 【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型. 21.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为(22,0)，且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1，F2的距离之和为43． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）设直线：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且AB=32，若点Px0,2满足PA=PB，求x0的值． 【答案】（1）x212+y24=1；（2）x0的值为−3或−1． 【解析】 【分析】 （1）由已知求得a=23，又由c=22，由此能求出椭圆的方程； （2）由y=x+mx212+y24=1，得4x2+6mx+3m2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出x0的值． 【详解】（1）由已知2a=43，得a=23，又c=22，∴b2=a2-c2=4，∴椭圆Γ的方程为x212+y24=1． （2）由y=x+m,x212+y24=1,得4x2+6mx+3m2-12=0 ① ∵直线与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴Δ=36m2-16(3m2-12)>0，得m2<16， 设x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-124，∴|AB|=1+k2|x1-x2| =294m2-(3m2-12) =2-34m2+12．又由|AB|=32，得-34m2+12=9，解得m=2．据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点，设AB的中点为E(x0,y0)，则x0=x1+x22=-34m，y0=x0+m=m4，当m=2时，E(-32,12)，此时，线段AB的中垂线方程为y-12=-(x+32)，即y=-x-1．令y=2，得x0=-3．当m=-2时，E(32,-12)，∴此时，线段AB中垂线方程为y+12=-(x-32)，即y=-x+1．令y=2，得x0=-1．综上所述，x0的值为-3或-1． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用a,b,c,e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 22.已知函数f(x)=12x+(1−a)−alnxx,，其中a∈R． (1)试讨论函数F(x)=xf(x)的单调性； (2)若a∈Z，且函数f(x)有两个零点，求实数的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】 ⑴求出F(x)=x+(1-a)-ax=(x+1)(x-a)x，分别讨论的范围，求出单调性 ⑵等价于F(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x>0)有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题 【详解】(1) F(x)=xf(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x>0)，则 F(x)=x+(1-a)-ax=(x+1)(x-a)x 当a≤0时，F(x)>0，所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a>0时，若x∈ (0,a)，则F(x)<0，若x∈ (a,+∞)，则F(x)>0 所以函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增； 综上可知，当a≤0时，函数F(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增； (2) 函数f(x)有两个零点等价于F(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x>0)有两个零点. 由(1)可知，当a≤0时，函数F(x)在(0,+∞)上单调递增，F(x)最多一个零点，不符合题意。所以a>0，又当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；所从F(x)min=a-12a2-alna. 要使F(x)有两个零点，则有F(x)min<0⇔1-12a-lna<0. 设，则， 所以函数在上单调递减.又 所以存在，当时，. 即存在，当时， 即 又因为，所以实数的最小值等于2． 此时，当时，，当时，，有两个零点.故实数的最小值等于2. 【点睛】本题考查了函数的最值的求法，注意运用导数求得单调区间即可，注意运用分类讨论的思想方法，在求函数的零点问题时，注意运用函数的单调性和零点存在定理，属于难题。