2019届高三数学第四次模拟考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学第四次模拟考试试题 理(含解析)选择题（本大题共12小题，共60分）1.1.已知m，集合，集合，若，则A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义和元素和集合的关系求结果.【详解】，集合，集合，且，故选：A【点睛】本题考查了集合的运算，考查对数的运算，是一道基础题2.2.若，则A. 6 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的模等于模的乘积求解【详解】z1=1+2i，z2=1-i，|z1z2|=|1+2i|1-i|=52=10故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3.3.已知命题p：xR，sinx1，则p为A. xR，sinx1 B. xR，sinx1 C. xR，sinx1 D. xR，sinx1【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为xR，使得sinx1【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：xR，sinx1，的否定是xR，使得sinx1故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题4.4.设a=0.50.4，b=log0.40.3，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是A. abc B. cba C. cab D. bca【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】0a=0.50.4log0.40.4=1，c=log80.4log81=0，a，b，c的大小关系是ca0)的周期为2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为A. 4 B. 34 C. 2 D. 8【答案】D【解析】【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos(x+)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值【详解】f(x)=sin2(x)-12=1-cos2x2-12=-12cos2x，22=2，解得：=2，f(x)=-12cos4x，将函数f(x)图象沿x轴向右平移a个单位(a0)，得到的新函数为g(x)=-12cos(4x-4a)，cos4a=0，4a=k+2，kZ，当k=0时，a的最小值为8故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos(x+)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题12.12.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且当x0时，不等式f(x)-xf(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由不等式f(x)-xf(x)在(0,+)上恒成立，得到函数h(x)=xf(x)在x0时是增函数，再由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数得到h(x)=xf(x)为偶函数，结合f(0)=f(3)=f(-3)=0，作出两个函数y1=xf(x)与y2=-lg|x+1|的大致图象，即可得出答案【详解】解：定义在R的奇函数f(x)满足：f(0)=0=f(3)=f(-3)，且f(-x)=-f(x)，又x0时，f(x)-xf(x)，即f(x)+xf(x)0， 0/，函数h(x)=xf(x)在x0时是增函数，又h(-x)=-xf(-x)=xf(x)，h(x)=xf(x)是偶函数；x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)=f(3)=f(-3)=0，可得函数y1=xf(x)与y2=-lg|x+1|的大致图象如图所示，由图象知，函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为3个故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目填空题（本大题共4小题，共20分）13.13.已知|a|=1，|b|=2，且a(a-b)，则向量在向量方向上的投影为_【答案】22【解析】【分析】推导出a(a-b)=a2-ab=0，从而cos=22，由此能求出向量在向量方向上的投影【详解】|a|=1，|b|=2，且a(a-b)，a(a-b)=a2-ab=1-12cos=0，cos=22，向量在向量方向上的投影为：|a|cos=22故答案为：22【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14.14.已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，B=45，SABC=2，则b=_【答案】5【解析】【分析】由a，sinB和面积的值，利用三角形的面积公式求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值【详解】由三角形的面积公式得：S=12acsinB=2，由a=1，sinB=22，所以c=42，又a=1，cosB=22，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5故答案为：5【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题15.15.已知实数x，y满足x-y1x+y1x0，则2x+y+2x的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P(0,-2)连线的斜率加2求得答案【详解】解：由实数x，y满足x-y1x+y1x0，作出可行域如图，联立x+y=1x-y=1，解得A(1,0)，2x+y+2x=2+y+2x，其几何意义为可行域内的动点与定点P(0,-2)连线的斜率加2kPA=0+21=2，2x+y+2x的最小值为4故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题16.16.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为点F1(-c,0)，F2(c,0)(c0)，抛物线y2=4cx与双曲线在第一象限内相交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率为_【答案】1+2【解析】【分析】画出图形，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点坐标相同，结合抛物线定义，求出P的坐标，然后求解双曲线的离心率即可【详解】解：抛物线y2=4cx与双曲线的右焦点F2(c,0)相同，|PF2|=|F1F2|，由抛物线定义可知，P(c,2c)，P在双曲线上，所以：c2a2-4c2b2=1，e2-e2e2-1=1，e4-6e2+1=0，e1，e=1+2故答案为：1+2【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.17.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且an2+2an=4Sn求Sn；设bn=(n+1+n)Sn，求数列1bn的前n项和Tn【答案】（1）n2+n（2）1-1n+1【解析】【分析】利用递推关系式推出数列是等差数列，求出首项与公差，然后求解求Sn；化简数列的通项公式，利用分母有理化，裂项相消法求解即可【详解】解：由题意得an2+2an=4Snan+12+2an+1=4Sn+1，两式作差得(an+1+an)(an+1-an-2)=0，又数列an各项均为正数，所以an+1-an-2=0，即an+1-an=2当n=1时，有a12+2a1=4S1=4a1，得a1(a1-2)=0，则a1=2，故数列an为首项为2公差为2的等差数列，所以Sn=na1+n(n-1)2d=n2+n)1bn=1(n+1+n)1Sn=n+1-nn(n+1)=1n-1n+1所以Tn=i=1n1bi=i=1n(1i-1i+1)=1-1n+1【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力18.18.第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者将这30名志愿者的身高编成如图的茎叶图单位：cm)：若身高在175cm以上包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望【答案】（1）710（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530=16，利用对立事件即可；(2)由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可【详解】解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530=16，所以选中的“高个子”有1216=2人，“非高个子”有1816=3人用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，则P(A)=1-C32C52=1-310=710因此，至少有一人是“高个子”的概率是710(2)依题意，的取值为0，1，2，3. P(=0)=C83C123=1455，P(=1)=C41C82C123=2855，P(=2)=C42C81C123=1255，P(=3)=C43C123=155因此，的分布列如下： 0123p145528551255155E=01455+12855+21255+3155=1【点睛】本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识19.19.如图，四棱锥P-ABCD，AD/BC，AD=2BC=4，AB=23，BAD=90，M，O分别为CD和AC的中点，PO平面ABCD(I)求证：平面PBM平面PAC；是否存在线段PM上一点N，使得ON/平面PAB，若存在，求PNPM的值，如果不存在，说明理由【答案】（1）见解析（2）当N为PM靠近P点的三等分点时，ON/平面PAB【解析】【分析】(I)连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为F.则OM-/BC，故BCFMOF，于是CF=14AC，BF=12BM，根据勾股定理求出AC，BM的值得出BF，CF，由勾股定理得逆定理得出BFCF，又由PO平面ABCD得POBF，故BF平面PAC，于是平面PBM平面PAC；(II)连结PE，则当ON/平面PAB时，ON/PE，故当MNMP=MOME=23时，结论成立【详解】解：(I)连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为FM，O是CD，AC的中点，MO/AD/BC，MO=12AD=2，E是AB的中点，BE=12AB=3ME=12(AD+BC)=3BM=BE2+ME2=23MO/BC，MO=BC，BCFMOF，BF=12BM=3，CF=12OC=14ACAC=AB2+BC2=4，CF=1BF2+CF2=BC2，BFCF，即BMACPO平面ABCD，BM平面ABCD，POBM，又PO平面PAC，AC平面PAC，POAC=O，BM平面PAC，又BM平面PBM，平面PBMPAC(II)当N为PM靠近P点的三等分点时，ON/平面PAB证明：连结PE，由(I)可知MO=2，EM=3，MOME=MNPM=23，ON/PE，又ON平面PAB，PE平面PAB，ON/平面PAB【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题20.20.设F1，F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点求AF1F2的周长；若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=-12分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程【答案】（1）22+2（2）y=52(x+1)【解析】【分析】)AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|；由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k0)，因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|yP|yR|=|yQ|2，联立y=k(x+1)与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论【详解】解：因为椭圆的长轴长2a=22，焦距2c=2又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a所以AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k0)于是直线l与直线x=-12交点Q的纵坐标为yQ=k2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，显然x1，x21，所以直线F2A的方程为y=y1x1-1(x-1)故直线F2A与直线x=-12交点P的纵坐标为yP=-3y12(x1-1)同理，点R的纵坐标为yR=-3y22(x2-1)因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|yP|yR|=|yQ|2即|-3y12(x1-1)-3y22(x2-1)|=k24整理得9|x1x2+(x1+x2)+1|=|x1x2-(x1+x2)+1|.(*)联立y=k(x+1)与椭圆方程，消去y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0所以x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2代入(*)化简得|8k2-1|=9解得k=52经检验，直线l的方程为y=52(x+1)【点睛】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21.21.设函数f(x)=ex-ax2-ex+b，其中e为自然对数的底数(1)若曲线f(x)在y轴上的截距为-1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=12x，求实数a，b的值；(2)记f(x)的导函数为g(x)，求g(x)在区间0,1上的最小值h(a)【答案】（1）实数a，b的值分别为1，-2；（2）h(a)=1-e，a122a-2aln2a-e，12e2【解析】【分析】将(0,-1)，代入f(x)，即可求得b的值，求导，由f(1)=-2，即可求得a的值；求导，g(x)=ex-2a，分类分别取得g(x)在区间0,1上的最小值h(a)解析式【详解】解：曲线f(x)在y轴上的截距为-1，则过点(0,-1)，代入f(x)=ex-ax2-ex+b，则1+b=-1，则b=-2，求导f(x)=ex-2ax-e，由f(1)=-2，即e-2a-e=-2，则a=1，实数a，b的值分别为1，-2；)f(x)=ex-ax2-ex+b，g(x)=f(x)=ex-2ax-e，g(x)=ex-2a，(1)当a12时，x0,1，1exe，2aex恒成立，即g(x)=ex-2a0，g(x)在0,1上单调递增，g(x)g(0)=1-e(2)当ae2时，x0,1，1exe，2aex恒成立，即g(x)=ex-2a0，g(x)在0,1上单调递减，g(x)g(1)=-2a(3)当12ae2时，g(x)=ex-2a=0，得x=ln(2a)，g(x)在0,ln2a上单调递减，在ln2a,1上单调递增，所以g(x)g(ln2a)=2a-2aln2a-e，h(a)=1-e，a122a-2aln2a-e，12e2【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力22.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：=2cos(I)若曲线C2，参数方程为：y=1+tsinx=tcos(为参数，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程若曲线C2，参数方程为y=1+tsinx=tcos(t为参数，A(0,1)，且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求1|AP|+1|AQ|的取值范围，【答案】（1）x2+y2=2x，x2+(y-1)2=t2（2）(2,22.【解析】【分析】(I)曲线C的极坐标方程为：=2cos.可得2=2cos，利用极坐标与直角坐标的互化即可得出直角坐标方程曲线C2，参数方程为：y=1+tsinx=tcos(为参数，利用cos2+sin2=1即可得出普通方程(II)将C2的参数方程：y=1+tsinx=tcos(为参数，代入C1的方程得：t2+(2sin-2cos)t+1=0，0，|sin(-4)|(22,1，可得sin(-4)-1,-22)(22,1，由t1+t2=-(2sin-2cos)，t1t2=1，可得t1与t2同号，可得|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2|t1t2|即可得出【详解】.解：(I)曲线C的极坐标方程为：=2cos2=2cos，x2+y2=2x曲线C2，参数方程为：y=1+tsinx=tcos(为参数，曲线C2的普通方程：x2+(y-1)2=t2(II)将C2的参数方程：y=1+tsinx=tcos(为参数，代入C1的方程得：t2+(2sin-2cos)t+1=0，=(2sin-2cos)2-4=8sin2(-4)-40，|sin(-4)|(22,1,sin(-4)-1,-22)(22,1，t1+t2=-(2sin-2cos)，t1t2=1，t1与t2同号，|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1|t2|=|t1+t2|t1t2|=22|sin(-4)|(2,22，1|PA|+1|PB|(2,22.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.23.已知函数f(x)=|2x+b|+|2x-b|(I)若b=1.解不等式f(x)4若不等式f(a)|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式的解集；利用绝对值不等式求出的最小值，再解对应的不等式【详解】解：函数，时，不等式为，它等价于或或，解得或或；不等式的解集为，当且仅当时取得最小值为；令，得，解得或，b的取值范围是(-,-13)(1,+)【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题