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第三章 不等式章末复习学习目标1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题1“三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是二次函数图象与x轴的交点横坐标，即二次函数的零点；相应的一元二次方程的实根；一元二次不等式的解集端点解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化2规划问题(1)规划问题的求解步骤把问题要求转化为约束条件；根据约束条件作出可行域；对目标函数变形并解释其几何意义；移动目标函数寻找最优解；解相关方程组求出最优解(2)关注非线性确定非线性约束条件表示的平面区域可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；常见的非线性目标函数有()，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；()，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离3基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别(1)利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件；(2)利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等1当a0时，(ax1)(x1)0(x1)0.()2目标函数zxay，当a0，b0”()类型一“三个二次”之间的关系例1设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围考点“三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值解M1,4有两种情况：其一是M，此时0，下面分三种情况计算a的取值范围设f(x)x22axa2，对方程x22axa20，有(2a)24(a2)4(a2a2)，当0时，1a0时，a2.设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，M1,4等价于1x1x24，即即解得2a，综上可知，当M1,4时，a的取值范围是.反思与感悟(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想跟踪训练1若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.考点“三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值答案2解析因为ax26xa21，由可得类型二规划问题例2已知变量x，y满足约束条件求z2xy的最大值和最小值考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域设l0：2xy0，l：2xyz，则z的几何意义是直线y2xz在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax25212；当l0过点B(1,1)时，zmin2113.反思与感悟(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小跟踪训练2某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小考点实际生活中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，总用料面积为z m2，由题意可得所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示在一组平行直线3x2yz中，经过可行域内的点A时，z取得最小值，直线2xy5和直线x2y4的交点为A(2,1)，即最优解为(2,1)所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小类型三利用基本不等式求最值命题角度1无附加条件型例3设f(x).(1)求f(x)在0，)上的最大值；(2)求f(x)在2，)上的最大值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解(1)当x0时，f(0)0，当x0时，有x2，f(x)25.当且仅当x，即x1时，等号成立，f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函数yx在2，)上是增函数且恒为正数，f(x)在2，)上是减函数，当x2时，f(x)f(2)20.f(x)在2，)上的最大值为20.反思与感悟利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可可以通过拼凑、换元等手段进行变形以求构造定值如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解跟踪训练3求函数yx(x3)的最小值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解yxx33，x3，x30，0，y235.当且仅当x3，即x4时，y有最小值5.命题角度2有附加条件的最值问题例4函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)，点A在直线mxny10上，mn1，方法一4，当且仅当mn时，取等号方法二(mn)2224，当且仅当即mn时，取等号min4.反思与感悟当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值跟踪训练4设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解3，1.2xy(2xy)1(2xy).当且仅当，即y2x时，取等号又3，x，y.2xy的最小值为.1已知实数x，y满足条件若目标函数zmxy(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为_考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案1解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线ymxz(m0)与直线2x2y10重合，即m1时，目标函数zmxy取最大值的最优解有无穷多个2若不等式ax2bx20的解集为，则ab_.考点一元二次不等式的应用题点已知解集求参数的值答案13解析2和是方程ax2bx20的两根ab13.3设ab0，则a2的最小值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析a2a2ababa(ab)ab224，当且仅当a(ab)1且ab1，即a，b时，取等号1不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据因此，要熟练掌握和运用不等式的性质2一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2bxc0(或0，0，0，0(或0，0)的解集3二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0By0C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”特别地，当C0时，常取原点作为特殊点4求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在填空题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解5运用基本不等式求最值时把握三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可一、填空题1若a0，1b0，则a，ab，ab2的大小关系由小到大依次为_考点实数大小的比较题点利用不等式的性质比较大小答案aab2ab解析a0，1b0，ab2a，abab2.01b10，aab2a(1b2)a(1b)(1b)0，aab2，aab2ab.2原点和点(1,1)在直线xya两侧，则a的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案(0,2)解析原点和点(1,1)在直线xya两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入xya中，结果异号，即a(11a)0，故0a3解析原不等式可化为20，即0，即(x3)(x8)0且x3，解得x8或x3.4若实数x，y满足则的取值范围是_考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案(，1)(1，)解析可行域如图阴影部分，的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得1或1.5如果aR，且a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系由小到大依次为_考点实数大小的比较题点利用不等式的性质比较大小答案aa2a2a解析a2a0，a(a1)0，1aa2a2a.6设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为4，则ab的取值范围是_考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案(0,4解析作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象zaxby(a0，b0)过点A(1,1)时，z取最大值，ab4，ab24(当且仅当ab2时取等号)，又a0，b0，ab(0,47已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为_考点非线性目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合答案37解析由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，|a|max6.a2b2的最大值为621237.8已知x，y(0，)，且满足1，则xy的最大值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案3解析因为x0，y0，1，所以2 (当且仅当，即x，y2时取等号)，即1，解得xy3，所以xy的最大值为3.9若关于x的方程8x2(m1)xm70的两根均大于1，则m的取值范围是_考点“三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数范围答案25，)解析令f(x)8x2(m1)xm7.方程8x2(m1)xm70的两根均大于1，由二次函数图象得解得m的取值范围是25，)10函数y的最大值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案解析设t，从而xt22(t0)，则y.当t0时，y0；当t0时，y，当且仅当2t，即t时，等号成立，即当x时，ymax.11已知a0，b0且ab，则与ab的大小关系是_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案ab解析(ab)ba(a2b2)(a2b2)，又a0，b0，ab，(ab)20，ab0，ab0，(ab)0，ab.12已知x0，y0，且2x8yxy0，则xy的最小值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案64解析xy2x8y2，所以8，所以xy64，当且仅当2x8y且2x8yxy0，即x16，y4时，等号成立故xy的最小值为64.二、解答题13已知不等式mx2mx10.(1)若当xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x1,3时不等式恒成立，求实数m的取值范围考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立解(1)若m0，原不等式可化为10，显然恒成立；若m0，则不等式mx2mx10恒成立等价于解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，当m0时，f(x)10时，若对于x1,3不等式恒成立，只需即可，由解得m，所以0m.当m0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，若当x1,3时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)0即可，解得mR，所以m0符合题意综上所述，实数m的取值范围是.三、探究与拓展14x，y满足约束条件若zy2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案1或解析作出可行域如图中阴影部分所示由zy2ax，得y2axz.当2a2或2a1，即a1或a时，zy2ax取得最大值的最优解不唯一15已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，bac，求的最大值考点非线性目标函数最值问题题点求斜率型目标函数的最值解题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部由方程组得交点坐标为C，此时zmax7，即的最大值为7.
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