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13.1函数的单调性与导数预习课本P2226，思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？ (2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？(3)怎样求函数的单调区间？1函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常数函数点睛对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭即|f(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)答案：D3函数f(x)2xsin x在(，)上()A是增函数B是减函数C在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减D在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增答案：A4. 函数yx3x在(，)上的图象是_(填“上升”或“下降”)的答案：上升 判断或讨论函数的单调性典例已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性解 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a0时，若x(，0)，则f(x)0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)0，f(x)在区间上是增函数当a0时，若x，则f(x)0.f(x)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)0和f(x)0，可得x；令f(x)0，可得3x1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7法二数形结合法如图所示，f(x)(x1)x(a1) 在(1,4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，另一根在4,6上即5a7.故实数a的取值范围为5,7法三转化为不等式的恒成立问题f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,71利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令f(x)0(或f(x)0，当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0，a0.答案：(0，)9设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1，11)，所以f(1)11，f(1)12，即解得a1，b3.(2)由a1，b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0，解得x1或x3；又令f(x)0，解得1x3.所以当x(，1)时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数；当x(3，)时，f(x)也是增函数10已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.设f(x)在区间1,1上是单调函数，求a的取值范围解：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exexx22(1a)x2a令f(x)0，即x22(1a)x2a0.解得x1a1，x2a1，令f(x)0，得xx2或xx1，令f(x)0，得x1xx2.a0，x11，x20.由此可得f(x)在1,1上是单调函数的充要条件为x21，即a11，解得a.故所求a的取值范围为.层级二应试能力达标1.已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)内是增函数，所以有f(2)f(e)0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数只有C符合题意，故选C.3函数yxsin xcos x，x(，)的单调增区间是()A.和 B.和C.和 D.和解析：选Ayxcos x，当x时，cos x0，yxcos x0，当0x时，cos x0，yxcos x0.4设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f(x)满足f(x)e2f(0)，f(2 016)e2 016f(0)Bf(2)e2 016f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2 016)e2f(0)，f(2 016)e2 016f(0)解析：选C函数F(x)的导数F(x)0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)F(0)，即，故有f(2)e2f(0)同理可得f(2 016)e2 016f(0)故选C.5已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则实数b的取值范围为_解析：若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2，由题意知，b1或b2.答案：(，1)(2，)6若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：f(x)在(1，)上为减函数，f(x)0在(1，)上恒成立，f(x)x，x0，bx(x2)在(1，)上恒成立，g(x)x(x2)(x1)21，g(x)min1，b1.答案：(，17设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)的单调增区间为(，1)，(0，)；单调减区间为(1,0)(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.当a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)0，即f(x)0，不符合题意，综上得a的取值范围为(，18已知函数f(x)x3ax1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由(2)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方解：(1)已知函数f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由题意知3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在x(1,1)上恒成立但当x(1,1)时，03x23，a3，即当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减(2)证明：取x1，得f(1)a2a，即存在点(1，a2)在f(x)x3ax1的图象上，且在直线ya的下方即f(x)的图象不可能总在直线ya的上方
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