浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数解三角形与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案.doc

第2讲三角恒等变换与解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.和三角函数的图象、性质有关的参数的范围问题热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)若cos，则cos等于()A. B C. D答案D解析cos，cossinsin，cos12sin2.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B. C. D.答案C解析因为，均为锐角，所以c，所以BC，则C为锐角，所以cos C.则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面积Sbcsin A48248.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状例3(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为a0，得sin A2sin B.根据正弦定理，得a2b.2(2018全国)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().3(2018全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.4(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.押题预测1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，则ABC的面积为_押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案解析因为0A0，并结合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C .于是sin Bcos C .由a及正弦定理，得c.故ABC的面积Sacsin B.2设函数f(x)sin2sin xcos x(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及f的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，试求g(x)在上的最小值押题依据三角函数是高考的热点问题，是解答题的重要考查题型利用三角恒等变换将函数转化为“一角一函数”的形式是解决此类问题的关键，换元法与整体代换法是最基本的解决方法考查重点是三角函数的图象与性质，有时会与解三角形问题进行综合考查解(1)f(x)sin2sin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos.所以函数f(x)的最小正周期T，fcos.(2)g(x)fcoscos.因为x，所以2x.所以当2x，即x时，g(x)取得最小值，此时g(x)min1.3已知f(x)sin(x) 满足ff(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数(1)求f(x)的解析式；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ca)cos Bbcos A，求f(A)的取值范围押题依据三角函数是高考考查的重点，是解答题的常考题型，常与解三角形相结合，此题很好地体现了综合性，是高考中的热点解(1)ff(x)，f(x)ff(x)，T，2，则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)sin，而g(x)为奇函数，则有k，kZ，而|，则有，从而f(x)sin.(2)(2ca)cos Bbcos A，由正弦定理得2sin Ccos Bsin(AB)sin C，又C，sin C0，cos B，B.ABC是锐角三角形，CA，A，02A0，2tan 2tan 2，当且仅当tan ，即tan ，时等号成立故选D.方法二为锐角，sin 0，cos 0，2tan 2，当且仅当，即时等号成立故选D.6(2018浙江省台州中学统考)已知sin cos 且，则sin 2_，的值为_答案解析由sin cos ，得sin cos ，两边平方得(sin cos )212sin cos 1sin 2，则sin 2.因为，所以sin 0，cos 0，则sin cos ，联立解得cos ，则cos 22cos21，又由sin cos 得，sin，则sin，所以.7(2018杭州模拟)设ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R，且sin Asin Bsin C234，则cos C_；当BC1时，ABC的面积为_答案解析sin Asin Bsin C234，由正弦定理得abc234.令a2t，b3t，c4t，则cos C，sin C.当BC1时，AC，SABC1.8(2018温州市适应性测试)在ABC中，AD为边BC上的中线，AB1，AD5，B45，则sinADC_，AC_.答案解析在ABD中，由正弦定理得，则sinADB，则sinADCsin(ADB)sinADB.在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcos B，即5212BD22BDcos 45，解得BD4(舍负)，则BC2BD8，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12(8)2218cos 45113，所以AC.9(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10(2018浙江省重点中学联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2bcos C2ac.(1)求B的大小；(2)若2，且|1，求ABC面积的最大值解(1)由2bcos C2ac及正弦定理，得2sin Bcos C2sin Asin C，即2sin Bcos C2sin(BC)sin C，2sin Ccos Bsin C，C(0，)，sin C0，cos B，又B(0，)，B.(2)由条件知，M为AB的中点，在BCM中，由余弦定理可得cos B，BM2BC21BMBC2BMBC，BMBC2，当且仅当BMBC时等号成立又SABCBCBAsin BCBM1，ABC面积的最大值是1.B组能力提高11已知2sin 1cos ，则tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因为2sin 1cos ，所以4sin cos 12sin2，解得sin 0或2cos sin ，即tan 0或2，又tan ，当tan 0时，tan 0；当tan 2时，tan .12在锐角ABC中，角A所对的边为a，ABC的面积S，给出以下结论：sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C有最小值8.其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4答案D解析由Sabsin C，得a2bsin C，又，得sin A2sin Bsin C，故正确；由sin A2sin Bsin C，得sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，故正确；因为tan(AB)，且tan(AB)tan(C)tan C，所以tan C，整理移项得tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正确；由tan Btan C2tan Btan C，tan Atan(BC)，且tan A，tan B，tan C都是正数，得tan Atan Btan Ctan Btan Ctan Btan C，设mtan Btan C1，则m0，tan Atan Btan C24448，当且仅当mtan Btan C11，即tan Btan C2时取“”，此时tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以tan Atan Btan C的最小值是8，故正确，故选D.13(2018北京)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_答案(2，)解析由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B又S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，)14如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2.(1)如图1，若ADBC，求BAC的大小；(2)如图2，若ABC，求ADC的面积解(1)设BAD，DAC.因为ADBC，AD6，BD3，DC2，所以tan ，tan ，所以tanBACtan()1.又BAC(0，)，所以BAC.(2)设BAD.在ABD中，ABC，AD6，BD3.由正弦定理得，解得sin .因为ADBD，所以为锐角，从而cos .因此sinADCsinsin cos cos sin .所以ADC的面积SADDCsinADC62(1)