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12.1任意角的三角函数(一)学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等知识点一任意角的三角函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考1角的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin ，cos ，tan .思考2对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关思考3在思考1中，当取|OP|1时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？答案 sin y，cos x，tan .梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆(2)定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y叫做的正弦，记作sin_，即sin y；x叫做的余弦，记作cos_，即cos x；叫做的正切，记作tan_，即tan (x0)对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)当为第一象限角时，y0, x0，故sin 0，cos 0，tan 0，同理可得当在其他象限时三角函数值的符号，如图所示梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”知识点三诱导公式一思考当角分别为30，390，330时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等梳理诱导公式一sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kZ.1sin ，cos ，tan 的大小与点P(x，y)在角的终边上的位置有关()提示三角函数的大小由角终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关2终边相同的角的同名三角函数值相等()提示由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.类型一三角函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点的坐标求三角函数值例1已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，求2sin cos 的值考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0)上时，取终边上一点P(4，3)，所以点P到坐标原点的距离r|OP|5，所以sin ，cos ，tan .所以sin 3cos tan .当角的终边在射线yx(x0)上时，取终边上一点P(4,3)，所以点P到坐标原点的距离r|OP|5，所以sin ，cos ，tan .所以sin 3cos tan 3.综上，sin 3cos tan 的值为或.类型二三角函数值符号的判断例3判断下列各式的符号：(1)sin 145cos(210)；(2)sin 3cos 4tan 5.考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号解(1)145是第二象限角，sin 1450.210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.(2)3452，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦跟踪训练3已知点P(tan ，cos )在第三象限，则是第_象限角考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号答案二解析由题意知tan 0，cos 0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .1正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数2角的三角函数值的符号只与角的终边所在象限有关，由角的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.一、选择题1(2017长沙检测)sin(315)的值是()A B C. D.考点诱导公式一题点诱导公式一答案C解析sin(315)sin(36045)sin 45.2(2017山西太原外国语学校月考)如果角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，则sin 等于()A. B C D考点任意角的三角函数题点任意角三角函数的定义答案C解析由题意得P(1，)，它与原点的距离r2，sin .3已知sin 0，且tan 0，cos 30，sin 2cos 3tan 40，cos 0，则实数a的取值范围是_考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号答案(2,3解析点(3a9，a2)在角的终边上，sin 0，cos 0，解得20，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos ，tan .若a0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，sin xcos x0，y2；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2.故函数y的值域为4,0,2三、解答题15已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin 的值考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解(1)，sin 0.lg(cos )有意义，cos 0.由得角的终边在第四象限(2)点M在单位圆上，2m21，解得m.又是第四象限角，m0，m.由三角函数定义知，sin .
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