2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1.1 数学归纳法原理导学案 新人教B版选修4-5.docx

3.1.1数学归纳法原理1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n取初始值n0时命题成立；(2)假设当nk时命题成立，证明nk1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测1.设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析f(n)f(n1)f(n1)f(n)，选D.答案D2.用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A.2k1 B.C.2(2k1) D.解析nk时，(k1)(k2)(kk)2k13(2n1).nk1时，(k2)(kk)(k1k)(k1k1).增乘的代数式是2(2k1)，选C.答案C3.数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_.解析a11，a2a134，a3459，a49716，猜想ann2.答案ann2知识点1利用数学归纳法证明等式【例1】 通过计算下面的式子，猜想出135(1)n(2n1)的结果，并加以证明.13_；135_；1357_；13579_.解上面四个式子的结果分别是2，3，4，5，由此猜想：135(1)n(2n1)(1)nn下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，式子左右两边都等于1，即这时等式成立.(2)假设当nk(k1)时等式成立，即135(1)k(2k1)(1)kk当nk1时，135(1)k(2k1)(1)k1(2k1)(1)kk(1)k1(2k1)(1)k1(k2k1)(1)k1(k1).即nk1时，命题成立.由(1)(2)知，命题对于nN*都成立.反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.1.用数学归纳法证明：1.证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立.(2)假设当nk (k1)时命题成立，即1，那么当nk1时，左边1.上式表明当nk1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.【例2】 证明1(其中nN*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n1时，左边，右边1.当n1时，等式成立.(2)假设当nk (k1)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边1右边.这就是说，当nk1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立.解不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当nk1时，式子的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n1时，左边，右边1，等式成立.(2)假设当nk (kN*，k2)时，等式成立，就是1，那么当nk1时，左边111右边.这就是说，当nk1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立.反思感悟：在推证“nk1”命题也成立时，必须把“归纳假设”nk时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明： (n2).证明(1)当n2时，左边1，右边，等式成立.(2)假设当nk (kN*，k2)时，等式成立，即则当nk1时，即nk1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n(n2)，原等式成立.知识点2用数学归纳法证明不等式【例3】 用数学归纳法证明：12 (n2).证明(1)当n2时，12，命题成立.(2)假设nk (kN*，k2)时命题成立，即12，当nk1时，12222，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n2时均成立.反思感悟：(1)由nk到nk1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.求证：1 (nN*).证明(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，即命题成立.(2)假设当nk时，命题成立，即1.那么当nk1时，1.由(1)(2)知原不等式在nN*时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当nk1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由nk推证nk1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把nk时的结论作为条件应用上.随堂演练1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A.n1成立 B.n2成立C.n3成立 D.n4成立解析因为多边形边数最少的是三角形，故应选C.答案C2.设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析f(n)1.f(n1)1.f(n1)f(n)，应选D.答案D3.已知a1，an1，nN*，求证：an2.证明(1)n1时，a1，a12.(2)设nk (k1)时，ak2，当nk1时，ak12.故nk1时，命题成立.由(1)(2)知，nN*时，an2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对解析由题意n2时成立可推得n4，6，8都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.答案B3.某个与正整数n有关的命题，如果当nk (kN*且k1)时该命题成立，则一定可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时该命题不成立，那么应有()A.当n4时该命题成立 B.当n6时该命题成立C.当n4时该命题不成立 D.当n6时该命题不成立答案C4.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是_.解析a22(221)a2，a2，a33(231)a3，a3，a44(241)a4，a4，猜想an.答案an5.观察下列等式11，358，791127，1315171964，请猜想第n个等式是_.答案(n2n1)(n2n3)n2n(2n1)n36.求证：(n2，nN*).证明(1)当n2时，左边，不等式成立.(2)假设nk (k2，kN*)时命题成立，即，则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.综合提高7.用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析当n1时，an1a2，左边应为1aa2，故选C.答案C8.已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)k2成立，则f(k1)(k1)2成立，下列命题成立的是()A.若f(3)9成立，则对于任意的k1，均有f(k)k2成立B.若f(4)16成立，则对于任意的k4，均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立，则对于任意的k7，均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立，则对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案D9.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_.答案(k35k)3k(k1)610.用数学归纳法证明：设f(m)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN且n2)，第一步要证的等式是_.答案2f(1)2f(2)11.求证：.证明(1)当n1时，左边，右边，等式成立.(2)假设当nk时，等式成立，即.则当nk1时，即当nk1时，等式成立.根据(1)(2)可知，对一切nN*，等式成立.12.用数学归纳法证明：当nN*时，(123n)n2.证明(1)当n1时，左边1，右边121，左边右边，不等式成立.(2)假设nk (k1，kN*)时不等式成立，即(123k)k2，则当nk1时，左边(12k)(k1)(123k)(123k)(k1)1k2(k1)1k21(k1)，当k2时，11，左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时，不等式成立.由(1)(2)知，当nN*时，不等式成立.