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1.1.2量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法知识点一全称量词、全称命题1概念短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题2表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量x的取值范围用M表示那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”3全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个xM，使得p(x)不成立即可知识点二存在量词、存在性命题1概念短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做存在性命题2表示存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”3存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()2全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词()3存在性命题中的量词一定不能省略()4全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面考点全称命题与存在性命题的综合问题题点全称命题与存在性命题的辨析解命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题命题(2)为存在性命题命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题反思感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1下列命题中，是全称命题的是_，是存在性命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角是45的三角形是等腰直角三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数考点全称命题与存在性命题的综合问题题点全称命题与存在性命题的辨析答案题型二全称命题与存在性命题的真假判断例2判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2x80成立；(5)xR，x23x20；(6)xR，x23x20.解(1)真命题(2)真命题，如函数f(x)0，既是偶函数又是奇函数(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示(4)假命题，方程x2x80的判别式310，故方程无实数解(5)假命题，只有当x2或x1时，等式x23x20才成立(6)真命题，x2或x1，都能使等式x23x20成立反思感悟要判断全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题要判断存在性命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)xR,2x2x10，不存在xR，使2x2x1m恒成立求实数m的取值范围解令ysinxcosx，xR，ysinxcosxsin，又xR，sinxcosxm恒成立，只要mm有解，求实数m的取值范围解令ysin xcos x，xR，ysin xcos xsin，又xR，sin xcos xm有解，只要m0)，x11,2，x1,2，使f(x1)g(x)，则a的取值范围是()A.B.C3，) D(0,3)答案C解析由于函数f(x)在定义域1,2内是任意取值的，且必存在x1,2，使得f(x1)g(x)，因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集函数f(x)的值域是1,3，函数g(x)的值域是2a，22a，则有即a3.素养评析(1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养1下列命题中，不是全称命题的是()A任何一个实数乘以0都等于0B自然数都是正整数C每一个向量都有大小D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在性命题2命题p：xN，x3x2；命题q：a(0,1)(1，)，函数f(x)loga(x1)的图象过点(2,0)，则()Ap假q真Bp真q假Cp假q假Dp真q真答案A解析x3x2，x2(x1)0，x0或0x0.A1B2C3D4答案C解析为真命题，当xy0时，x2|y|0，为假命题4给出下列四个命题：abab0；矩形都不是梯形；x，yR，x2y21；任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于1.其中全称命题是_(填序号)答案解析省略了量词“所有的”，含有量词“任意”5若命题“xR，x2mx2m30”为真命题，则实数m的取值范围是_答案2,6解析由已知“xR，x2mx2m30”为真命题，得m241(2m3)m28m120，解得2m6，即实数m的取值范围是2,61判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假3判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假一、选择题1下列命题中为真命题的是()AxR，x213DxQ，x2Z答案B2下列存在性命题是假命题的是()A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的素数是偶数D有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xR，x2x120恒成立3下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b20B菱形的两条对角线相等CxR，x2xD对数函数在定义域上是单调函数答案D解析A中含有全称量词“任意的”，因为a2b22a2b2(a1)2(b1)20，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.4已知命题“xR，x2ax4a0”为真命题，则实数a的取值范围为()A(，16)(0，) B(16,0)C4,0D(4,0)答案A解析“xR，x2ax4a0，解得a0，故选A.5下列四个命题：没有一个无理数不是实数；空集是任何一个非空集合的真子集；112；至少存在一个整数x，使得x2x1是整数其中是真命题的为()ABCD答案C解析所有无理数都是实数，为真命题；显然为真命题；显然不成立，为假命题；取x1，能使x2x11是整数，为真命题6已知函数f(x)|2x1|，若命题“存在x1，x2a，b且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是()Aa0Ba1答案B解析函数f(x)|2x1|的图象如图所示：由图可知f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，要满足存在x1，x2a，b且x1f(x2)为真命题，则必有a0，故选B.7给出下列命题，其中为真命题的是()A对任意xR，都有x230B对任意xN，都有x21C存在xZ，使x51D存在xQ，使x23答案C解析由于对任意xR，都有x20，即有x233，所以命题“对任意xR，都有x230”为假命题；由于0N，当x0时，x21不成立，所以命题“对任意xN，都有x21”是假命题；由于1Z，当x1时，x51，所以命题“存在xZ，使x52x1C存在xR，使得x2x1D对任意x，都有tanxsinx答案B解析对于A，tanxR，xR，使得tanx2，此命题为真命题；对于B，当x1(0，)时，x22x120，此命题为假命题；对于C，易知方程x2x10有实数根，此命题为真命题；对于D，当x时，tanx00恒成立；xQ，x22；xR，x210；xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为_答案0解析对于方程f(x)x23x2，(3)2420，当x2或x0才成立，为假命题；当且仅当x时，x22，不存在xQ，使得x22，为假命题；不存在xR，x210，为假命题；4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即当x1时，4x22x13x2成立，为假命题均为假命题11已知函数f(x)x|x|pxq(xR)，给出下列命题：当f(x)为奇函数时，q0；函数f(x)的图象关于点(0，q)对称；当p0时，方程f(x)0一定有解；方程f(x)0的解的个数可能超过两个其中所有真命题的序号是_答案解析若函数f(x)x|x|pxq(xR)是奇函数，则f(0)0，q0，故为真命题；设(x1，y1)是函数f(x)图象上的点，它关于点(0，q)的对称点为P(x，y)，则x1x，y12qy，2qyx|x|pxq，即yx|x|pxq，点P在函数f(x)的图象上，函数f(x)的图象关于点(0，q)对称，故为真命题；作出函数yx|x|的图象和直线yq(图略)，知它们恒有公共点，故为真命题；当q0，p1时，利用函数f(x)的图象，知为真命题三、解答题12判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程axb0都有唯一解；(3)存在实数x，使得2.解(1)是存在性命题，用符号表示为“直线l，l的斜率不存在”，是真命题(2)是全称命题，用符号表示为“a，bR，方程axb0都有唯一解”，是假命题(3)是存在性命题，用符号表示为“xR，2”，是假命题13已知命题p：x1,2，x2a0，命题q：xR，x22ax2a0.若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围解x1,2，x2a0，即ax2，当x1,2时恒成立，a1.xR，x22ax2a0，即方程x22ax2a0有实根，4a24(2a)0.a2或a1.又p和q都为真，a2或a1.14若命题“关于x的不等式x1a22a0对任意x(0，)恒成立”为真命题，则实数a的取值范围为_答案(1,3)解析设f(x)x，因为x0，所以f(x)x24，当且仅当x2时，等号成立又关于x的不等式x1a22a0对任意x(0，)恒成立，所以a22a14，解得1a3，所以实数a的取值范围为(1,3)15函数f(x)对一切实数x，y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)的值(2)在(0,4)上存在实数x，使得f(x)6ax成立，求实数a的取值范围解(1)由已知等式f(xy)f(y)(x2y1)x，令x1，y0，得f(1)f(0)2，又因为f(1)0，所以f(0)2.(2)令y0，则f(xy)f(y)f(x)f(0)f(x)2(x201)xx2x，所以f(x)6x2x4.所以要使在(0,4)上存在x使f(x)6ax成立，只需在(0,4)内存在x使ax1.而x1415，等号当且仅当x2时成立故所求的取值范围为a5.
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