正比例函数与一次函数图象、性质及其应用有解析（中考数学知识点分类汇编）

正比例函数与一次函数图象、性质及其应用有解析（中考数学知识点分类汇编）正比例函数与一次函数图象、性质及其应用一、选择题1. （2018 山东滨州，12，3 分）如果规定 表示不大于 x 的最大整数，例如 ，那么函数 的图象为（ ）A B C D【答案】A【解析】当 x 为正整数时， y=0，排除 B 和 C；当 x为负整数时，y1，排除掉 D，当非整数时，令x=1.5 ， y=1.5( 2)=0.5，故选 A【知识点】新定义问题、数形结合思想和分段函数2. （2018 山东聊城，12，3 分）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对宿舍进行消毒的过程中，先经过 5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍 10min，然后打开门窗进行通风，室内没立方米空气中含药量 y（mg/ ）与药物在空气中的持续时间 x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ） A.经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/ B.室内空气中的含药量不低于 8mg/ 的持续时间达到了 11min C.当室内空气中的含药量不低于 5mg/ 且持续时间不低于 35min，才能有效杀灭某种传染病毒，此次消毒完全有效 D.当室内空气中的含药量低于 2mg/ 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到 2mg/ 开始，需经过 59min 后，学生才能进入室内【答案】C【解析】利用函数图象可知：经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/ ，A 正确；当 0x5 时， y=2x，当 y=8 时，x=4 ，又x=15 时，y=8 ，室内空气中的含药量不低于 8mg/ 的持续时间达到了 11min，B 正确； 当 0x5 时， y=2x，当 y=5 时，x=2.5；当x15 时，y= ，当 y=5 时，x=24；室内空气中的含药量不低于 5mg/ 的持续时间为 21.5min，持续时间低于 35min，此次消毒完全无效 ，C 错误； 当 0x5 时， y=2x，当 y=2 时，x=1 ；当 x15时，y= ，当 y=2 时，x=60；当室内空气中的含药量低于 2mg/ 的持续时间为 59min，D 正确.【知识点】函数图象、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求反比例函数解析式、函数值的计算3. （2018 年山东省枣庄市， 5，3 分） 如图，直线 是一次函数 的图象，如果点 在直线 上，则 的值为（ ）A B C D7【答案】C【解析】由图像可得直线 l 与 x 轴的两个交点的坐标为（0，1） （-2 ，0） ，代入到 求得直线 l 的解析式为 ，再把点 代入到直线 l 的解析式中，求得 m 的值为 故选 C.【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数的表达式；4. （2018 四川省南充市，第 7 题，3 分）直线 向下平移 2 个单位长度得到的直线是（ ）A B C D 【答案】C【解析】直线 y=2x 向下平移 2 个单位长度得到直线的解析式是 y=2x2，故选 C.【知识点】一次函数的平移5. （2018 浙江绍兴，6，3 分）如图，一个函数的图象由射线 、线段 、射线 组成，其中点 ， ， ， ，则此函数（ ）（第 6 题图）A当 时， 随 的增大而增大B当 时， 随 的增大而减小C当 时， 随 的增大而增大D当 时， 随 的增大而减小【答案】A【解析】由函数图像可知，当 时， 随 的增大而增大，A 正确；当 时， 随 的增大而减小，B 错误；当 时， 随 的增大而增大，C 错误，当 时， 随 的增大而增大，D 错误，故选 A。【知识点】一次函数的性质1. （2018 贵州遵义，7 题，3 分）如图，直线y=kx+3 经过点(2,0)，则关于 x 的不等式 kx+30 的解集是A.x2 B.x0，即 y0，即图像在 x 轴上方的部分，故不等式的解集为 x-2,然后将 P 点坐标代入已知的一次函数求出 P 点坐标，再观察图像可得不等式的解。【解题过程】 过点 P(n,-4), ，解得：n=2.P 点坐标是 P(2,-4)观察图像知： 的解集为：x-2.不等式组 的解集是： 。故填 。【知识点】待定系数求一次函数的解析式，解不等式组，由一次函数的图像得不等式的解集。4. （2018 江苏连云港，第 15 题，3 分）如图，一次函数 y=kx+b 的图像与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，O 经过 A、 B 两点，已知 AB=2，则 的值为_.【答案】 【解析】解：OA=OB，OBA=45，在 RtOAB 中，OA=AB sin45=2 = ，即点 A( ，0)，同理可得点 B(0， )，一次函数 y=kx+b 经过点A、B， 解得： .故答案为： .【知识点】锐角三角函数；圆；待定系数法求函数解析式5. （2018 湖南衡阳，18，3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 和 y= x 的图象分别为直线l1，l2，过点 A1（ 1，- ） ，作 x 轴的垂线交 l1 于点A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A3，过点 A3 作x 轴的垂线交 l1 于点 A4，过点 A4 作 y 轴的垂线交 l2于点 A5， 依次进行下去，则点 A2018 的横坐标为 【答案】21008.【思路分析】写出部分 An 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律 A2n 的横坐标为（-2）n-1（n 为正整数） ，依此规律即可得出结论【解题过程】解：观察，发现规律：A1（1 ，- ） ，A2（ 1， 1） ，A3（ -2，1） ，A4 （-2，-2） ，A5（4，-2） ，A6（ 4， 4） ，A7（ -8，4） ，A8 （-8，-8） ，A2n 的横坐标为（-2）n-1（n 为正整数） 2018=21009 ，A2018 的横坐标为：（-2）1009-1=21008.【知识点】探究规律、一次函数图象上点的坐标特征6.（2018 山东省济宁市，12，3）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=-2x1 的图象经过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 x1x2 ，则 y1_y2（填“” “”或“=” ）.【答案】【解析】一次函数 y=kxb，当 k0 时，y 随 x 的增大而减大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小，因为y=-2x1 中的 k=-20，所以若 x1x2，则 y1y2， 因此，答案为：.【知识点】一次函数的图像性质7. （2018 山东威海，18，3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1 的坐标为（1，2） ，以点 O 为圆心，以 OA1 长为半径画弧，交直线 y x 于点 B1，过 B1点作 B1A2y 轴，交直线 y2x 于点 A2，以点 O 为圆心，以 OA2 长为半径画弧，交直线 y x 于点B2；过点 B2 作 B2A3y 轴，交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，以 OA3 长为半径画弧，交直线 y x 于点 B3；过 B3 点作 B3A4y 轴，交直线 y2x 于点 A4，以点 O 为圆心，以 OA4 长为半径画弧，交直线 y x 于点 B4，按照如此规律进行下去，点B2018 的坐标为 _【答案】 （22018 ， 22017）【思路分析】结合图形，先根据点 A1 的坐标确定OA1、OB1 的长度，根据点 B1 在直线 y x 上，结合直线的倾斜度，可以得出 B1 坐标，依次类推，求A2、 B2，从而确定出 B2018 的坐标【解题过程】点 A1（1，2） ，OA1OB1 ，B1 在直线 y x 上，B1（2 ，1） ，依次类推A2（ 2， 4） ，B2（4，2） ，A3（4， 8） ，B2（6 ，4）An(2n1 ，2n) 、 Bn(2n，2n1) ，故点 B2018（22018，22017） 【知识点】坐标的规律性问题、点的坐标、一次函数图象上的点的特征8. （2018 四川省宜宾市， 12，3 分）已知点 A 是直线 y=x+1 上一点，其横坐标为12,若点 B 与点 A 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为 .【答案】 （ ， ）【解析】把 x=12 代入 y=x+1 得：y= ，点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 和点 A 关于y 轴对称，B（ ， ） ，故答案为（ ， ）.【知识点】关于对称轴对称的点的坐标；点在一次函数的图像上9.（2018 天津市，16，3）将直线 向上平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 【答案】y=x+2【解析】分析：由平移规律“左加右减” 、 “上加下减”，可得平移后的解析式.解：由平移规律，直线 向上平移 2 个单位长度，则平移后直线为 y=x+2故答案为 y=x+2【知识点】一次函数图象与几何变换10. （2018 浙江杭州，15，4 分） 某日上午,甲 B,乙两车先后从 A 地出发沿同一条公路匀速前进前往 B地, 甲车 8 点出发,如图是其行驶路程 s（千米）随行驶时间（小时）变化的图象，乙车 9 点出发，若要在10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车，则乙车的速度 v（单位：千米/小时）的范围是_.【答案】 【解析】由图象得 ，考虑极点情况，若在 10 点追上，则 ，解得： ，同理：若在 11 点追上， 【知识点】一次函数的应用11. （2018 浙江温州， 15，5）如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB上一点，四边形 OEDC 是菱形，则OAE 的面积为 .【答案】 【解析】因为一次函数 与 x 轴的交点为（ ，0 ）与y 轴的交点为（0,4）所以 OA= ,OB=4，所以tanOAB= 所以OAB=30所以OBA=60因为 C为 OB 的中点所以 OC=BC=2 又因为四边形 OCDE 为菱形所以 OC=CD=2 OBA=60所以BCD 为等边三角形所以BCD=60所以OCD=120所以COE=60所以 EOA=30所以 EH= OE= 2=1 所以OAE 的面积= 故答案为 【知识点】一次函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定，三角形的面积公式，三角函数 1. （2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点 O 处，且AOC=60，A 点的坐标是（0，4） ，则直线 AC 的表达式是 .【答案】 【解析】解：延长 BC 交 轴于点 D，A 点的坐标是（0 ，4 ） ，OA=4，四边形 OABC 是菱形，且AOC=60，OABC ，OA=OC=4, DOC=30，AOD+ODB=180，ODB=90，BD 轴，在 RtACD 中， ， ，CD=2，OD=2 ，C 点的坐标为（2 ，2）. A 点的坐标是（ 0，4） ，可设直线 AC 的表达式为 ，将 C 点坐标代入，可得： ，解得： ，设直线 AC 的表达式为 .【知识点】平面直角坐标系，菱形的性质，一次函数表达式，解直角三角形2. （2018重庆 A 卷，17 ，4）A，B 两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从 A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶甲车先出发 40分钟后，乙车才出发途中乙车发生故障，修车耗时20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时（仍保持匀速前行） ，甲、乙两车同时到达 B地甲、乙两车相离的路程 y（千米）与甲车行驶时间 x（小时）之间的函数关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 B 地还有千米【答案】90【解析】由图可知甲车先出发 40 分钟行驶 30 千米，速度为 30 45 （km/h ） ，2h 时两车相距 10km，从而乙车的速度为(45 210) (2 )80 60（km/h ） ，而乙车发生故障维修后的速度为 50km/h设乙车维修后行驶了 xh，则其维修前行驶了( 1x)h，根据题意，得 60( x)50x240 ，解得 x2，从而45290，即乙车修好时，甲车距 B 地还有 90 千米，故答案为 90【知识点】实一次函数的应用；行程问题；一元一次方程3. （2018 江苏淮安，14，3）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图像，点 A1 的坐标为 (1,0)，过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l 于 D1，以A1D1 为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1 作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2,以 A2B2 为边作正方形 A2B2C2D2;过点 C2 作 x 轴的垂线，垂足为 A3,交直线 l 于点 B3,以 A3D3 为边作正方形A3B3C3D3,， 按此规律操作下去，所得到的正方形AnBnCnDn 的面积是 .（第 16 题）【答案】 【解析】根据一次函数的图象上点的坐标特征，分别求出点的坐标，然后根据点的坐标特征求出第一个、第二个、第三个正方形的面积，从中探索规律，进而可得结果.解：点 A1 的坐标为 (1,0)点 D1 的坐标为 (1,1)，正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，面积为 1同理可得，正方形 A2B2C2D2 的边长为 ，面积为 ,正方形 A3B3C3D3 的边长为 ，面积为 正方形 AnBnCnDn 的面积是 .故答案为 【知识点】等腰直角三角形的性质；一次函数的图象与性质；坐标系中点的坐标特征；规律探索4. （2018 贵州安顺，T18 ，F4 ）正方形 、 、 、按如图所示的 方式放置.点 、 、 和点 、C2、C3、分别在直线 y= X + 1 和 x 轴上，则点 的坐标是_. (n 为正整数）【答案】 【解析】当 x=0 时，y=x+1=1， 点 的坐标为（0,1）.四边形 为正方形，点 的坐标为（1,1）.当 x=1 时，y=x+1=2，点 的坐标为（ 1,2）. 四边形 为正方形，点 的坐标为（3,2）.同理，可得点 的坐标为（3,4） ，点 的坐标为（7,4） ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .故答案为 .【知识点】一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，探索规律.5. （2018 浙江省台州市，15，5 分） 如图，把平面内一条数轴 绕原点 逆时针旋转角 得到另一条数轴 ， 轴和 轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，过点 在 轴的平行线，交 轴于点 ，若点 在 轴上对应的实数为 ，点 在 轴上对应的实数为 ，则称有序实数对 为点 的斜坐标.在某平面斜坐标系中，已知 ，点 的斜坐标为 ，点 与点 关于 轴对称，则点 的斜坐标为 【答案】 （-3，5）【解析】如图所示：过点 M 作 MHy 轴，垂足为H，并延长到点 N，使 NH=MH，过点 N 作 NDx 轴，交 y 轴于点 D，过点 N 作 NEy 轴，交 x 轴于点 E.在 NDH 和 MCH 中，NDH MCH（AAS）ND=MC=3，DH=CH在 RTMCH 中， HCM=60，HMC30，CH= MC= ，DC=2CH=3，OD=OC+CD=2+3=5，点 N（-3 ，5）【知识点】全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三、解答题1 （2018 四川内江，21，10） 某商场计划购进A、B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的进价比每部 B 型号手机的进价多 500 元，每部 A 型号手机的售价是 2500 元，每部 B 型号手机的售价是 2100元（1）若商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部，求 A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7 5 万元采购 A、 B 两种型号的手机共 40 部，且 A型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍该商场有哪几种进货方式？该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【思路分析】 （1）先找到题中的等量关系：50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部，以及A、B 两种型号的手机的进价关系，设未知数列方程即可；（2）由已知提供的信息：用不超过 75 万元采购 A、B 两种型号的手机共 40 部；且 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍，可以列出两个不等式，解这个不等式组（解为正整数）就可以确定进货方式设总利润为 W，A 种型号的手机 m部，由利润等于售价减去进价再乘以部数，就可以得到一个关于 W 和 m 的一次函数，根据一次函数的性质可以得出怎样进货利润最大【解题过程】解：（1）设 B 种型号的手机每部进价为 x 元，则 A 种型号的手机每部进价为（x500 ）元，根据题意可得 10(x500)20 x50000，解得：x1500 ， x5002000答：A 种型号的手机每部进价为 2000 元，B 种型号的手机每部进价为 1500 元（2 ）设商场购进 A 种型号的手机 m 部，B 种型号的手机为（40m）部，由题意得：，解得 m30，m 为整数，m 27，28，29，30，所以共有四种进货方案，分别是：A 种 27 部，B 种 13 部；A 种 28 部，B 种 12部；A 种 29 部， B 种 11 部；A 种 30 部，B 种 10部设获得的利润为 W，则 W（2500 2000）m（ 21001500） （40 m ）100m24000，100 0， W 随 m 的增大而减小，所以当 m27 时，W 最大，即选择购进 A种 27 部，B 种 13 部获得的利润最大【知识点】一元一次方程；一元一次不等式组；一次函数的性质；2. （2018 浙江衢州，第 24 题，12 分）如图，Rt OAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6 ，8 ） ，直线 CD 交 AB 于点 D（6 ，3） ，交 x 轴于点 C（12，0） 。（1 ）求直线 CD 的函数表达式；（2 ）动点 P 在 x 轴上从点（10，0 ）出发，以每秒1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 L垂直于 x 轴，设运动时间为 t。点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当 t 为何值时，在直线 L 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t的值。【思路分析】本题主要考查了一次函数与特殊四边形的综合问题，涉及到一次函数的解析式、菱形性质、及其动态问题。解答本题的关键是结合图形性质特点在动态过程中探究存在点的位置，利用勾股定理确定长度。（1 ）因为已知经过两点，故利用待定系数法列方程组解答即可；（2 ）假设法，假如存在，对点 P 的位置分两种情况进行讨论，利用PDA= B，可得到PDA 和OBA相似，从而利用边长比得到 PA 的长度，从而得到 P的坐标；（3 ）分别以点 B 和 O 为圆心作圆弧，交直线 CD 于两点，结合菱形性质，利用勾股定理求得点 Q 的坐标。【解题过程】解：（1）设直线 CD 的函数解析式为y= ，将 D（6，3 ）和 C（12，0）代入得：，解得 设直线 CD 的函数解析式为 y= （2 ）存在点 P.当点 p 在点 A 的左侧时，PDA=B，PD/OB，PADOAB. = .PA= = 6= . （ ，0）当点 P 在点 A 的右侧时，可得（ ，0 ）如图， （i）以 B 为圆心，BO 为半径画弧交直线 y= 于 ， 两点，由题意可知，B =BO=B ,设 Q（x, ） ，由勾股定理得， + = 解得 =-4， =12，即 ， 两点的横坐标分别为 -4 和12，由对称性可得 、 的横坐标分别为-10 和 6，又点 P 从（ -10，0）开始运动， =0， =16.（ii ）以 O 为圆心，OB 为半径画弧交直线 y= 于点 ， 两点，由题意可知，B =BO=B ,由勾股定理得， + = 解得 = ， = ，即 ， 两点的横坐标分别为 和 ，又因为点 P 从点（ -10，0）开始运动， = ， = .综上所述，当 t 为 0，16， ， 时，在直线 L 上存在点 M，使得以 OB 为一边，O、B、 M、Q.为顶点的四边形为菱形。3. （2018 江苏无锡， 25，8 分）一水果店是 A 酒店的唯一供货商.水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了 2600kg 的这种水果.已知水果店没售出 1kg 该水果可获利润 10 元，未售出的部分每 1kg 将亏损 6 元.以 x（单位：kg，2000x3000）表示 A 酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润.（1 ）求 y 关于 x 的函数表达式；（2 ）问：当 A 酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于 22000 元？【思路分析】 （1）利用售出部分的利润减去未售出部分的亏损即可得到 y 关于 x 的函数表达式；（2 ）利用利润不少于 22000 可以列不等式求出实际问题的解.【解题过程】 （1）当 2000x 2600 时，y=10x-6（ 2600-x）=16x-15600；当 2600 x3000 时，y=102600=26000.（2 ）由题意得 16x-1560022000，解得 x 2350，当 A 酒店本月对这种水果的需求量不少于 2350 时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于 22000 元.【知识点】列一次函数解析式、一元一次不等式的应用4. （2018 江苏无锡，26，10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）.（1 ）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C，且使ABC=90，ABC 与AOC 的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2 ）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 AC，并写出与之对应的函数表达式.【思路分析】 （1）方法一：过点 B 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂直分别为 A、C，过 AC 画直线即可；方法二：连接 OB，作 OB 的垂直平分线，分别交 x轴、y 轴于点 A、C，过 AC 画直线即可.（2 ）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式.【解题过程】 （1）方法一：过点 B 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂直分别为 A、C，过 AC 画直线即可；方法二：连接 OB，作 OB 的垂直平分线，分别交 x轴、y 轴于点 A、C，过 AC 画直线即可.（2 ）方法一：由作图可知点 A 的坐标为（6 ，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ，设 AC 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 , .方法二：作 BMx 轴于点 M，BNy 轴于点 N，则BM=4，BN=6，设 A（a ，0）C（0，b） ，利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a，由BAMBCN 得 ， ， 设 AC 的解析式为 y=mx+n，则 ，解得 , .【知识点】5. （2018 山东潍坊，23，11 分）为落实“绿水青山