四边形与三角形的综合附解析（2019年中考数学复习专题）

四边形与三角形的综合附解析（2019 年中考数学复习专题）专题六 四边形与三角形的综合中考备考攻略纵观近 4 年中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中 2015 年第 24 题综合考查平行四边形和直角三角形；2016 年第 25 题综合考查菱形和三角形全等；2017 年第 24 题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018 年第 24 题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计 2019 年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例 1 如图,在四边形 ABCD 中,AB DC,AB AD, 对角线 AC,BD 交于点 O,AC 平分BAD,过点 C 作 CEAB交 AB 的延长线于点 E,连接 OE.(1)求证：四边形 ABC D 是菱形；(2)若 AB 5,BD2,求 OE 的长.【解析】(1)先判断出OABDCA,进而判断出DAC DCA, 得出 CDADAB,即可得出结论；(2)先判断出 OEOA OC,再求出 OB1, 利用勾股定理求出 OA,即可得出结果.【答案】(1)证明：ABCD, CABACD.AC 平分BAD,CABCAD,CADACD,AD CD.又ADAB,ABCD.又ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形.又ABAD, 四边形 ABCD 是菱形；(2)解：四边形 ABCD 是菱形,ACBD,OA OC12AC,OBOD12BD1.在 RtAOB 中,AOB 90 ,OAAB2OB22.CEAB,AEC90.在 RtAEC 中,O 为 AC 中点,OE12ACOA 2.四边形与三角形全等例 2 (2018张家界中考)在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC上,AEAD,DF AE,垂足为点 F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30 ,且 AB4,求 AD.【解析】(1)利用“AAS”证ADFEAB 即可得证；(2)由ADFFDC90,DAFADF 90得FDCDAF30,据此知 AD 2DF ,根据 DFAB可得答案.【答案】(1)证明：在矩形 ABCD 中,ADBC,AEBDAF.又DFAE, DFA90,DFAB.又ADEA, ADFEAB,DFAB；(2)解：ADF FDC90,DAFADF 90,FDCDAF30,AD2DF.DFAB4,AD2AB8.四边形与三角形相似例 3 (2018资阳中考)已知：如图,在 RtABC 中,ACB90,点 M 是斜边 AB 的中点,MD BC, 且MDCM,DEAB 于点 E,连接 AD,CD.(1)求证：MED BCA；(2)求证：AMDCMD；(3)设MDE 的面积为 S1,四边形 BCMD 的面积为 S2,当 S2175S1 时,求 cos ABC 的值 .【解析】(1)易证DME CBA,ACBDE M90,从而可证明MEDBCA ；(2)由ACB90 ,点 M 是斜边 AB 的中点,可知 BM CMAM,又由 MDBC 可证明AMD CMD, 从而可利用全等三角形的判定方法证明AMDCMD；(3)易证 DM12AB,由(1)可知MEDBCA, 所以S1SACBDMAB214,所以 SMCB12SACB2S1,从而可求出 SEBDS2SMCBS125S1,由于 S1SEBDMEEB,从而可知MEBE52,设 ME5x,EB 2x,从而用 x 表示出 AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：MDBC, DMECBA.ACBDEM90 ,MEDBCA；(2)证明：ACB90,点 M 是斜边 AB 的中点,BMCMAM,MCBMBC.DMB MBC,MCBDMBMBC.MDBC,CMD180MCB.又AMD180DMB,AMDCMD.在AMD 与CMD 中,MDMD，AMDCMD，AMCM，AMDCMD(SAS) ；(3)解：DM CM,AM CMDMBM,DM12AB.由(1)可知MED BCA,S1SACBDMAB214,SACB4S1.CM 是ACB 的中线,SMCB12SACB 2S1,SEBDS2SMCBS125S1,S1SEBDMEEB,S125S1MEEB,MEEB 52.设 ME5x,EB 2x,则 BM7x,AB2BM14x.MDABMEBC12,BC10x,cos ABCBCAB10x14x57 . 1.(201 8贺州中考) 如图,在ABC 中,ACB90,O,D分别是边 AC,AB 的中点 ,过点 C 作 CEAB 交 DO 的延长线于点 E,连接 AE.(1)求证：四边形 AECD 是菱形；(2)若四边形 AECD 的面积为 24,tan BAC34,求 BC的长.(1)证明： 点 O 是 AC 的中点,OAOC.CEAB,DAOECO.又AODCOE,AODCOE(ASA),ADCE,四边形 AECD 是平行四边形.又CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线,CDAD12AB,四边形 AECD 是菱形；(2)由(1) 知,四边形 AECD 是菱形,ACED.在 RtAOD 中,tan DAOODOAtan BAC 34,可设 OD 3x,OA4x,则 ED2OD6x,AC2OA8x.由题意可得 126x8x24,x1, OD3.O,D 分别是 AC,AB 的中点,OD 是 ABC 的中位线 ,BC2OD6.2.(2018盐城中考) 在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E,F 满足 BEDF,连接 AE,AF,CE,CF,如图. (1)求证：AB EADF ；(2)试判断四边形 AECF 的形状, 并说明理由.(1)证明：四边形 ABCD 是正方形,AB AD,ABDADB,ABE ADF.在ABE 与ADF 中,ABAD，ABEADF，BEDF，ABEADF(SAS) ；(2)解：四边形 AECF 是菱形.理由：连接 AC,交 BD 于点 O.四边形 ABCD 是正方形 ,OAOC,OB OD,ACEF,OBBEOD DF,即 OEOF.OAOC,OEOF,四边形 AECF 是平行四边形 ,又ACEF,四边形 AECF 是菱形.3.(2018湖州中考) 已知在 RtABC 中,BAC90,ABAC,D,E 分别为 AC,BC 边上的点(不包括端点),且DCBEACBCm,连接 AE,过点 D 作 DMAE, 垂足为点 M,延长 DM 交 AB 于点 F.(1)如图 1,过点 E 作 EHAB 于点 H,连接 DH.求证：四边形 DHEC 是平行四边形；若 m22,求证：AE DF ；(2)如图 2,若 m35,求 DFAE 的值.(1)证明：EHAB,BAC90,EH CA,BHE BAC, BEBC HEAC.DCBEACBC, BEBCDCAC, HEACDCAC,HE DC.EH DC,四边形 DHEC 是平行四边形；ACBC22,BAC90,AC AB.DCBE22,HEDC, HEBE22.又BHE90,BHHE.HE DC,BH CD,AHAD.DMAE,EHAB,EHAAMF90,HAEHEAHAEAFM90,HEAAFD.EHAFAD90,HEAAFD,AEDF；(2)解：过点 E 作 EGAB 于点 G.CAAB,EG CA,EGB CAB,EGCABEBC,EGBE CABC35.CDBE35,EGCD.设 EGCD3x,AC3y,则 BE5x,BC5y,BG4x,AB4y.EGAAMF90,GEAEAGEAGAFM,AFMAEG.FADEGA90 ,FAD EGA,DFAE ADAG 3y3x4y4x34.中考专题过关1.(2018乌鲁木齐中考) 如图,在四边形 ABCD 中,BAC90,E 是 BC 的中点,AD BC,AE DC,EF CD于点 F.(1)求证：四边形 AECD 是菱形；(2)若 AB 6,BC10,求 EF 的长.(1)证明：ADBC,AEDC,四边形 AECD 是平行四边形.BAC90,E 是 BC 的中点,AE CE 12BC,四边形 AECD 是菱形；(2)解：过 A 作 AHBC 于点 H.BAC90,AB 6,BC10,AC 102628.SABC12BC AH12AB AC,AH 6810 245.点 E 是 BC 的中点 ,BC10,四边形 AECD 是菱形,CDCE5.SAECDCEA HCDEF,EF AH245.2.(2018青岛中考) 已知：如图, ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点 E,点 G 为 AD 的中点,连接 CG,CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F,连接 FD.(1)求证：ABAF；(2)若 AGAB, BCD120,判断四边形 ACDF 的形状, 并证明你的结论.(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,A BCD, AFGDCG.又GA GD,AGFCGD,AGFDGC,AFCD.ABAF；(2)解：四边形 ACDF 是矩形.证明：AF CD,AFCD,四边形 ACDF 是平行四边形.四边形 ABCD 是平行四边形 ,BADBCD120.FAG 60.ABAG AF, AFG 是等边三角形,AGGF.四边形 ACDF 是平行四边形,FGCG,AGDG.ADCF.四边形 ACDF 是矩形.3.已知：如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD CD,E 是对角线 BD 上一点, 且 EAEC.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)如果 BEBC,且CBE BCE 23,求证：四边形 ABCD 是正方形 .证明：(1)在ADE 与CDE 中,ADCD， DEDE ，EA EC，ADECDE,ADECDE.ADBC, ADECBD,CDECBD,BC CD.ADCD,BCAD,四边形 ABCD 为平行四边形 .ADCD,四边形 ABCD 是菱形；(2)BE BC,BCE BEC.CBEBCE23,CBE180223345.四边形 ABCD 是菱形 ,ABECBE45,ABC90,四边形 ABCD 是正方形 .4.(2018眉山中考) 如图,在四边形 ABCD 中,ACBD于点 E,ABACBD,点 M 为 BC 的中点,N 为线段 AM上的点,且 MBMN.(1)求证：BN 平分ABE；(2)若 BD1,连接 DN,当四边形 DNBC 为平行四边形时,求线段 BC 的长；(3)如图,若点 F 为 AB 的中点,连接 FN,FM,求证：MFNBDC.(1)证明： ABAC,ABC ACB.M 为 BC 的中点 ,AM BC.在 RtABM 中,MABABC 90.在 RtCBE 中,EBCACB90 ,MAB EBC.又MBMN,MBN 为等腰直角三角形 ,MNBMBN45 ,EBCNBE45,MABABN MNB 45,NBEABN,即 BN 平分ABE；(2)解：设 BMCMMNa.当四边形 DNBC 是平行四边形时,DNBC2a.在ABN 和DBN 中,ABDB，NBDNBA ，BN BN ，ABNDBN(SAS),AND N2a.在 RtABM 中,由 AM2BM2AB2,得(2aa)2 a21,解得 a1010(负值舍去 ) ,BC2a105 ；(3)证明：在 Rt MAB 中,F 是 AB 的中点,MFAFBF,MABFMN.又MABCBD,FMN DBC.MFABMNBC12,MFBDMNBC12,MFNBDC.5.(2018枣庄中考) 如图,将矩形 ABCD 沿 AF 折叠,使点D 落在 BC 边的点 E 处,过点 E 作 EGCD 交 AF 于点 G,连接 DG.(1)求证：四边形 EFDG 是菱形；(2)探究线段 EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由；(3)若 AG6,EG25,求 BE 的长.(1)证明：GE DF,EGFDFG.由翻折的性质可知 DGEG,DF EF,DGFEGF,DGFDFG, DG DF,DGEGDFEF,四边形 EFDG 是菱形；(2)解：EG212GFAF.理由：连接 DE,交 AF 于点 O.四边形 EFDG 是菱形,GFDE,OGOF12GF.DOFADF90,OFDDFA,DOFADF,DFAFOFDF,即 DF2OF AF.OF12GF,DF EG,EG212GFAF；(3)解：过点 G 作 GHDC,垂足为点 H.EG2 12GFAF,AG6,EG 25,即 GF26GF400,解得 GF4,GF10( 舍去).DFEG 25,AFAG GF10,ADAF2DF2 45.GHDC,ADDC,GH AD,FGHFAD,GHADGFAF,即 GH45410,GH855.BEADGH45 8551255.