（天津专版）2018年高考数学 母题题源系列 专题15 概率与统计 文.doc

母题十五 概率与统计【母题原题1】【2018天津，文15】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的7名同学分别用表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率【考点分析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分【答案】()应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；()（i）答案见解析；（ii）（）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为，共21种（ii）由（），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是，来自乙年级的是，来自丙年级的是，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，共5种所以，事件M发生的概率为【名师点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力【母题原题2】【2015天津，文15】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率【答案】（I）3，1，2；（II）（i）见试题解析；（ii）【解析】试题分析：（I）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2；（II）（i）一一列举，共15种；（ii）符合条件的结果有9种，所以 ，共9种，所以事件A发生的概率 【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、几何概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合，要求掌握利用古典概想、几何概型求概率的方法，掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，以解答题的形式出现，1以统计为背景或以数据为背景是常见题型，2古典概型是概率论中最简单而又直观的模型【答题模板】解答本类题目，以2017年高考北京卷试题为例，一般考虑如下三步：第一步：分析频率分布直方图，每一个小矩形的面积表示本组的频率；第二步：会用公式 ，这样即使频数；第三步：结合统计知识 能够根据统计知识计算男女生人数【方法总结】1求古典概型的概率：（1）对于事件的概率的计算，关键是要分清基本事件总数与事件包含的基本事件数，因此必须解决以下三个方面的问题，第一，试验所包含的基本事件是等可能的，第二，试验所包含的基本事件有多少个，第三，事件是什么，它包含的基本事件有多少个（2）如果基本事件的个数比较少，可用列举法把包含的古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件中的基本事件数，利用公式，求出事件的概率，若包含的基本事件个数比较多，还需根据排列组合知识求解包含的基本事件的个数2互斥事件有一个发生的概率：计算公式P(AB)P(A)P(B)(A、B互斥)；对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事件去求3几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的4与长度或面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题重点关注：与线段长度有关的几何概型；与一元不等式有关的几何概型；与距离有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解5用样本估计总体（1）频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；（2）茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分（3）样本的数字特征：众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；平均数：设个数分别为、，则叫做这个数的算数平均数在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；方差：设个数分别为、，则叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；标准差：设个数分别为、，则叫做这个数的标准差，标准差也可以衡量样本稳定性的强弱6独立性检验（1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况（4）利用随机变量来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的 独立性检验（5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤： 列出两个分类变量的列联表：假设两个分类变量、无关系；计算（其中nabcd为样本容量)；把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系临界值附表：7两个变量的相关关系（1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线（2）回归方程为，其中=，1【2018天津滨海新区七校模拟】从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间，且成绩在区间的学生人数是人，（1）求的值；（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析列出所有可能的抽取结果；设选取的人中，成绩都在内为事件，求事件发生的概率【答案】（1）50；（2）见解析，【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的面积和为1，可求得x（2）用枚举法列出所有基本事件，再由古典概型可求得事件发生的概率试题解析：（1）由直方图可得成绩分布在区间的频率为 “从上述5人中任选人，都来自分数段”为事件A； 则事件A包含的基本事件有，故所求概率【点睛】直方图的两个结论（1）小长方形的面积组距(频率/组距)频率（2）各小长方形的面积之和等于12【2018天津十二校模拟】为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛，从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，得到如图所示的频率分布直方图（1）求图中的值；（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件，求事件发生的概率【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据直方图中所有小矩形的面积之和等于 ，列方程求解即可；（2）成绩在有人，成绩在的有人，利用列举法可得在两个分数段内随机选取两名学生，所有的基本事件个数为 ，这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分的事件个数为，根据古典概型概率公式可得结果 共15种事件包含的基本事件有：共7种事件发生的概率为【方法点睛】本题主要考查直方图的性质与应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 （1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，再，依次 这样才能避免多写、漏写现象的发生3【2018天津部分区二模】某区的区人大代表有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，乙校教师记为，丙校教师记为，丁校教师记为现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（2）求教师被选中的概率；（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率【答案】（1）见解析（2） （3） 【解析】分析：（1）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成人员的全部可能结果（2）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出A1被选中的结果有5种，由此能求出教师A1被选中的概率所以所求概率（3）宣讲团没有乙校代表的结果有：，共2种结果，所以所求概率为【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目4【2018天津河东区二模】小明非常喜欢葫芦娃七兄弟的人偶玩具，小明的妈妈答应小明买其中的两个，面对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个造型各异的玩偶小明举棋不定（1）请列举出小明购买人偶的所有结果；（2）事件A为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”，求事件A发生的概率【答案】（1）21（2） 【解析】分析：第一问就相当于从7个不同元素中任取两个不同元素有多少种取法的问题，按照一定的次序写，做到不重不漏即可；第二问就需要先找满足条件的基本事件数，就从第一问中寻找含有A，B，C中至少一个的事件都有哪些，之后应用满足条件的基本事件数除以总的基本事件数即可得结果详解：（1） 设 红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个玩偶分别为、共计15种 事件A发生的概率 【名师点睛】该题考查的是有关古典概型的问题，在解题的过程中，需要明确实验所对应的基本事件的条件，从而得到基本事件都有哪些，之后在求有关事件发生的概率的时候，需要将满足条件的基本事件都写出来，并且保证个数不要输错，从而利用相应的公式求得结果5【2018天津耀华中学月考三】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为， ， ， 的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出个球，每个小球被取出的可能性相等（1）列出所有可能的结果；（2）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（3）求取出的两个球上标号之和能被整除的概率【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个球，共有16种结果，满足条件的事件是所取两个小球上的数字为相邻整数，可以列举出所有结果，根据古典概型概（2）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有：，共6种故所求概率（3）所取两个球上的数字和能被整除的结果有共5种故所求概率为6【2018天津部分区上学期期末考】某公司需要对所生产的三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：产品ABC数量（件）18027090采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件（1）求分别抽取三种产品的件数；（2）将抽取的6件产品按种类编号，分别记为，现从这6件产品中随机抽取2件（）用所给编号列出所有可能的结果；（）求这两件产品来自不同种类的概率【答案】（1）2件、3件、1件；（2）【解析】试题分析：（1）由条件先确定在各层中抽取的比例，然后根据分层抽样的方法在各层中抽取可得A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件（2）（）由题意设产品编号为； 产品编号为 产品编号为，然后列举出出从6件产品中随机抽取2件的所有可能结果（）根据古典概型概率公式求解即可（2）（i）设产品编号为； 产品编号为 产品编号为，则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是： ，共个（ii）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有： ，共11个所以这两件产品来自不同种类的概率为7【2018天津一中学月考五】为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均分与方差（2）若从甲地被抽取的名观众中再邀请名进行深入调研，求这名观众中恰有人的问卷调查成绩在分以上的概率【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】分析：（1）根据茎叶图中给出的数据并结合平均数、方差的定义求解即可（2）由题意列举出从8人中抽取2人的所有得分情况，然后根据古典概型求解详解：（1）依题意得， （2）依题意得从8人中抽取2人，则2人的所有得分情况为：，共种其中恰有人的成绩在分以上的情况为：，共种，由古典概型概率公式可得所求概率为【名师点睛】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择8【2018天津一中学月考三】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足 ，则称为这三个数的中位数）【答案】（1） （2）见解析（）的所有可能值为1，2，3，且，故的分布列为123从而9【2018四川成都七中三模】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过005的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动现从这8人中随机抽2人抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率参考数据：010000500010000127063841663510828，其中【答案】（1）能（2）见解析【解析】分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率。详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100【名师点睛】本题考查了考查了古典概型的概率计算问题，是中档题10【2018北京十一学校三模】由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为）组别步数分组频数2102（）写出的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；（）记组步数数据的平均数与方差分别为组步数数据的平均数与方差分别为，试分别比较与以，与的大小；(只需写出结论)【答案】（1），；（2），；（3）见解析11【2018河北石家庄二中三模】某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在以上（包括）的只有两个人，且均在甲队规定：跳高成绩在以上（包括）定义为“优秀”（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在（单位：）内的运动人数；（2）在甲，乙两队所有成绩在以上的运动员中随机选取人，已知至少有人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率【答案】（1），（2）（3） 见解析 全体运动馆总人数（人），成绩位于中运动员的频率为，人数为，由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有名，（人）；（2）由频率直方图可得：以上运动员总数为：，由茎叶图可得，甲乙队以上人数恰好人，所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为人，设事件为“至少有人成绩优秀”，事件为“两人成绩均优秀”，；12【2018青海西宁二模】已知函数，现有一组数据，将其绘制所得的茎叶图如图所示（其中茎为整数部分，叶为小数部分例如：可记为，且上述数据的平均数为）（）求茎叶图中数据的值；（）现从茎叶图中小于的数据中任取两个数据分别替换的值，求恰有一个数据使得函数没有零点的概率【答案】（1）（2） 【解析】分析：（）利用茎叶图和平均数公式进行求解即可；（）先利用判别式求出函数无零点的实数的取值范围，再通过列举法、利用古典概型的概率公式进行求解详解：（）由题意可知，可得（）对于函数，由，解得：则茎叶图中小于3的数据中，由4个满足，记作；不满足的有3个，记作；则任取2个数据，基本事件有共21种；其中恰有1个数据满足条件的有：共12种，故所求概率为【名师点睛】本题考查茎叶图、样本的数字特征、古典概型的概率公式等知识，意在考查学生的数学应用能力和逻辑思维能力13【2018山东实验中学二模】2018 年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出人，把这人分为 两类（类表示对这些年度人物比较了解，类表示对这些年度人物不太了解），并制成如下表格：年龄段 岁岁岁岁岁岁岁岁人数类所占比例（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这人中选出人进行访谈，并从这人中随机选出两名幸运者给予奖励求其中一名幸运者的年龄在岁岁之间，另一名幸运者的年龄在岁岁之间的概率；(注：从人中随机选出人，共有种不同选法)（2）如果把年龄在 岁岁之间的人称为青少年，年龄在岁岁之间的人称为中老年，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？参考数据：，其中【答案】（1）；（2）在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异【解析】试题分析：（1）由题意得，从这人中随机选取人，结果有种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在岁岁之间，另一名幸运者的年龄在岁岁之间的结果有12种，进而得到；（2）根据公式得到的观测值，进而做出判断，共种故所求的概率为（2）青少年中类的人数为，则类的人数为中老年中类的人数为，则类的人数为列出列联表如下：类类合计青少年中老年合计计算得的观测值所以在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异【名师点睛】这个题目考查了分层抽样的概念，古典概型的公式，以及的应用；对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可14【2018宁夏银川一中模拟】某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示565860136246971271380181甲乙（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在80，90）的概率【答案】（1） （2）甲乙两个小组成绩相当； 乙组成绩比甲组成绩更稳定（3）记甲乙成绩的的方差分别为，则（2）因为，所以甲乙两个小组成绩相当；因为，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定 （3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在70，80），记为，有2名在80，90）记为，任取两名同学的基本事件有6个：（），（），（），（），（），（）恰好有一名同学的得分在80，90）的基本事件数共4个：（），（），（），（）所以恰好有一名同学的得分在80，90）的概率为【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化15【2018安徽淮南二模】大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆2018年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数得如下数据表格：科研人员确定研究方案是：从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验（1）求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；（2）若选取的是4月5日、6日、7日三天数据据此求关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验()中回归方程是否可靠？注： ，【答案】（1）；（2）；（3）得到的线性回归方程是可靠的【解析】分析：（1）利用对立事件的概率公式求恰好是不相邻的2天数据的概率（2）利用最小二乘法求y关于的线性回归方程为（3）检验即可得解详解：（1）恰好是不相邻的2天数据的概率是 ， ； ，故y关于的线性回归方程为（3）当时， ，；当时， ，故得到的线性回归方程是可靠的【名师点睛】本题主要考查概率的求法，考查回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力