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课时规范练39直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2017山东临沂一模,文19)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,BCD=90,BC=CD,AE=BE,ED平面ABCD.(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM平面BDE;(2)若N为BE的中点,求证:CN平面ADE.导学号241907732.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.3.(2017河北邯郸二模,文19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ABAC,AB=AC=2,点E在AD上,且AE=2ED.(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF平面PAC;(2)若PBC的面积是梯形ABCD面积的43,求点E到平面PBC的距离.导学号241907744.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AEDA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得AE平面DFG.综合提升组5.(2017广东江门一模,文19)如图,在RtABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF平面ACF.6.(2017山西孝义考前模拟,文19)如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,ABCD,CD=2AB,EDC=150.如图(2),将EAD沿AD折到PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM平面PCD.图(1)图(2)(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)若四棱锥P-ABCD的体积为23,求四面体BCDM的体积.导学号241907757.(2017北京海淀模拟,文15)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE.(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE?证明你的结论.创新应用组8.(2017辽宁大连一模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,AD=AP=2,AB=27,E为棱PD中点.(1)求证:PD平面ABE;(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.9.(2017山西太原二模,文19)如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=2,BF=CF=2,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将ADE,BCF翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60,求三棱锥E-BCF的体积.图(1)图(2)答案：1.证明 (1)ED平面ABCD,EDAD,EDBD,EDCM.AE=BE,RtADERtBDE,AD=BD.连接DM,则DMAB,ABCD,BCD=90,BC=CD,四边形BCDM是正方形,BDCM.又DECM,BDDE=D,CM平面BDE,CM平面CEM,平面CEM平面BDE.(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,在EBA中,N为BE的中点,NGAB且NG=12AB,又ABCD,且AB=2CD,NGCD,且NG=CD,四边形CDGN为平行四边形,CNDG.又CN平面ADE,DG平面ADE,CN平面ADE.2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.3.(1)证明 ABAC,AB=AC,ACB=45.底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ACD=45,AD=CD,BC=2AC=2AD.AE=2ED,CF=2FB,AE=BF=23AD,四边形ABFE是平行四边形,ABEF.又ABAC,ACEF.PA底面ABCD,PAEF.PAAC=A,EF平面PAC.EF平面PEF,平面PEF平面PAC.(2)解 PA底面ABCD,且AB=AC,PB=PC,取BC的中点G,连接AG,则AGBC,AG=CD=1.设PA=x,连接PG,则PG=x2+1,PBC的面积是梯形ABCD面积的43倍,122PG=4312(1+2)1,即PG=2,求得x=3,ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,AD平面PBC,点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,VA-PBC=VP-ABC,SPBC=2SABC,点E到平面PBC的距离为12PA=32.4.(1)证明 连接AD1,BC1(图略).由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A,DA1平面ABC1D1.AE平面ABC1D1,AEDA1.(2)解 所求点G即为点A1,证明如下:由(1)可知AEDA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DFAH,DFEH,AHEH=H,可得DF平面AHE.AE平面AHE,DFAE.又DFA1D=D,AE平面DFA1,即AE平面DFG.5.解 (1)D,E分别是AB,BC边的中点,DE12AC,DEBC,DE=1.依题意,DEEF,BE=EF=2,EFEC=E,DE平面CEF,DE平面ACED,平面ACED平面CEF.作FMEC于M,则FM平面ACED,CEF=60,FM=3,梯形ACED的面积S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=13Sh=1333=3.(2)(法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ12AC,NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DNEQ.EC=EF,CEF=60,CEF是等边三角形,EQFC,又DE平面CEF,DEEQ,ACEQ,FCAC=C,EQ平面ACF,DN平面ACF,又DN平面ADF,平面ADF平面ACF.(法二)连接BF,EC=EF,CEF=60,CEF是边长为2等边三角形.BE=EF,EBF=12CEF=30,BFC=90,BFFC.DE平面BCF,DEAC,AC平面BCF.BF平面BCF,ACBF,又FCAC=C,BF平面ACF,又BF平面ADF,平面ADF平面ACF.6.(1)证明 取PD的中点N,连接AN,MN,则MNCD,且MN=12CD,又ABCD,AB=12CD,MNAB,MN=AB,四边形ABMN是平行四边形,ANBM,又BM平面PCD,AN平面PCD,ANPD,ANCD,由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点,得PAD为等边三角形,PDA=60,又EDC=150,CDA=90,CDAD,又ANAD=A,CD平面PAD,又CD平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)解 设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,则VP-ABCD=13Sh=23,又SBCD=23S,四面体BCDM的底面BCD上的高为h2,四面体BCDM的体积VBCDM=13SBCDh2=1623Sh=233.7.(1)解 PA底面ABCD,PA为此四棱锥底面上的高.V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23.(2)证明 连接AC交BD于点O,连接OE.四边形ABCD是正方形,AO=OC.又AE=EP,OEPC.又PC平面BDE,OE平面BDE,PC平面BDE.(3)解 不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE.证明如下:四边形ABCD是正方形,BDAC.PA底面ABCD,PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.CE平面PAC,BDCE.8.(1)证明 PA底面ABCD,AB底面ABCD,PAAB,又底面ABCD为矩形,ABAD,又PA平面PAD,AD平面PAD,PAAD=A,AB平面PAD,又PD平面PAD,ABPD,AD=AP,E为PD中点,AEPD,AEAB=A,AE平面ABE,AB平面ABE,PD平面ABE.(2)解 四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,由已知BD=AB2+AD2=(27)2+22=42,设M为BD中点,AM=22,OM=12AP=1,OA=AM2+OM2=(22)2+12=3,四棱锥P-ABCD外接球的体积是43OA3=36.9.(1)证明 由题意,点E在底面ABCD的射影在MN上,可设为点P,同理,点F在底面ABCD的射影在MN上,可设为点Q,则EP平面ABCD,FQ平面ABCD,平面EMP平面ABCD,平面FNQ平面ABCD,又MN平面ABCD,MN平面EMP,MN平面FNQ,由结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个,得到E,F,M,N四点共面.(2)解 二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60,EMP=FNQ=60,EP=EMsin 60=32,三棱锥E-BCF的体积VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=21312232+123223-13(42)32=32.
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