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第八章 平面解析几何单元过关检测(八) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0 【解析】选A.设所求直线方程为2x+y+m=0,因为经过点(-1,3),所以2(-1)+3+m=0,所以m=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0.2.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P,Q是直线y=kx+1上不同的两点,则与不平行,因此a1b2-a2b10,所以二元一次方程组一定有唯一解. 3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任意一点N(x0,y0),线段PN的中点M(x,y).由中点坐标公式,得x=,y=,化简得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【变式备选】当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.该直线可整理为a(x+1)+(-x-y+1)=0,故定点C为(-1,2),所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.4.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()A.(x+3)2+(y-2)2=B.(x-3)2+(y+2)2=C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2【解析】选C.圆x2+y2-2x-1=0(x-1)2+y2=2,圆心(1,0),半径,关于直线2x-y+3=0对称的圆半径不变,排除A,B,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上,C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心为(-3,2),验证适合.5.已知点A(-1,0),点B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为()A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1【解析】选D.由题意可知|PA|+|PF|=|BF|=2,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点,以2为长轴长的椭圆,所以它的轨迹方程为+=1. 6.若直线+=1通过点M(cos ,sin ),则 ()A.a2+b21B.a2+b21C.+1D.+1 【解析】选D.因为直线+=1通过点M(cos ,sin ),所以+=1,所以+=+2=1.7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.y2=4x的焦点是(1,0),设直线方程为y=k(x-1),k0,(1)将(1)代入抛物线方程可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x显然有两个实根,且都大于0,它们的横坐标之和是=53k2=4k=. 8.已知双曲线-=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,P为右支上一点,点Q满足=1(10)且|=2a,=2,=0,则|OT|的值为()A.4aB.2aC.aD.【解析】选C.由题知Q,F1,P三点共线,F2,T,Q三点共线.因为|PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|,所以|PQ|=|PF2|,又PTQF2,所以T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点,连接OT,则OT为F1QF2的中位线,所以|OT|=a.9.如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是 ()A.B.C.D.【解析】选D.因为F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,所以c=, 由椭圆、双曲线的定义可知|AF1|+|AF2|=4,|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF2|=2+a, |AF1|=2-a,又因为四边形AF1BF2为矩形,所以AF1AF2,所以(2+a)2+(2-a)2= (2)2,解得a=,所以C2的离心率是e=.10.已知抛物线C:y2=2px(0p4)的焦点为F,点P为抛物线C上一动点,A(4,0), B(p,p),且|PA|的最小值为,则|BF|等于()A.4B.C.5D.【解析】选B.设点P(x,y),所以|PA|=,因为0p0,所以当且仅当x=-(p-4)时,|PA|取得最小值,所以16-(p-4)2=15,解得p=3,所以抛物线的焦点为F,B(3,3),所以|BF|=.11.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为()A.-2B.-C.1D.0【解析】选A.设点P(x,y),其中x1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),=(-1-x,-y)(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4-,其中x1.因此,当x=1时,取得最小值-2.12.已知以T=4为周期的函数f(x)=其中m0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为 ()A.B.C.D. 【解析】选B.令y=f(x).因为当x-1,1时,将函数化为方程x2+=1(y0),实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,同时在坐标系中作出当x(1,3的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,由图易知直线y=与第二个半椭圆(x-4)2+=1(y0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y0)无公共点时,方程恰有5个实数解,将y=代入(x-4)2+=1(y0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t0)则(t+1)x2-8tx+15t=0,由1=(-8t)2-415t(t+1)0,得t15,且m0得m.同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y0)无公共点,由20可计算mb0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为时,此椭圆的离心率是_.【解析】设直线PF与圆x2+y2=b2的切点为M,则依题意得OMMF,因为直线PF的倾斜角为,所以OFP=,所以sin=,椭圆的离心率e=.答案:【一题多解】依题意可知PF:y=-(x+c),又O到PF的距离为b,即=b,所以=b2=a2-c2,所以4a2=7c2,所以e=.答案:14.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_.【解析】由题意可知|PQ|=16,因为F,A分别是左右焦点,所以由双曲线的定义得PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=23+|QA|+23+|PA|+|PQ|=12+216=44.答案:4415.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为_.【解析】抛物线y2=8x的准线为x=-2,所以双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为(-2,0),c=2,因为双曲线的离心率为2,所以e=2,所以a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.答案:x2-=116.设直线系M:xcos +(y-2)sin =1(02),对于下列四个命题:M中所有直线均经过一个定点;存在定点P不在M中的任一条直线上;对于任意整数n(n3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号).【解析】对于,由已知点(cos ,2+sin )总在直线系上,但是这个点不是定点,所以错误;对于,点P(0,2)不在M中的任一条直线上,所以真;对于,定点P(0,2)到直线系M:xcos +(y-2)sin =1(02)的距离为d=1,这就是说圆x2+(y-2)2=1与直线系M:xcos +(y-2)sin =1(02)总相切,所以存在正n边形,其所有边均在M中直线上,使这正n边形的内切圆为这个圆,所以正确;对于,由可知M中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等,所以面积不一定相等.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆M和圆P:x2+y2-2x-10=0相内切,且过定点Q(-,0).(1)求动圆圆心M的轨迹方程.(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求直线l的方程.【解析】(1)由已知|MP|=2-|MQ|,即|MP|+|MQ|=2,且2大于|PQ|,所以M的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,其方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得10x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-m,则AB的中点为,AB的垂直平分线方程为y-m=-,将代入得m=,所以直线l的方程为y=x+.18.(12分)(2017江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+ =1(ab0)的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. (1)求椭圆E的标准方程.(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8, 解得a=2,c=1,于是b=, 因此椭圆E的标准方程是+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为点P为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x01时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程为:y=-(x+1), 直线l2的方程为:y=-(x-1). 由,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1或+=1.又P在椭圆E上,故+=1.由解得x0=,y0=;无解.因此点P的坐标为.19.(12分)已知椭圆E:+=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标.(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.【解题指南】(1)利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程由两个相等的实根,解出b2的值,从而得出椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合及根与系数的关系,进行求解.【解析】(1)由已知得,a=b,则椭圆E的方程为+=1,由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0,方程根的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1.点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=x+m(m0),由可得3x2+4mx+(4m2-12)=0,所以=16(9-2m2)0,解得-m且m0,设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得x1+x2=-,x1x2=.所以|PA|=,同理|PB|=,所以|PA|PB|=|-+|=m2,由得P点坐标为,所以|PT|2=+=m2.故存在常数=,使得|PT|2=|PA|PB|.20.(12分)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A,B和C,D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S. (1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A,C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1与l2的斜率之积为-,求面积S的值.【解析】(1)直线l1:y1x-x1y=0,点C到l1的距离d=.|AB|=2|OA|=2,所以S=2SABC=2|AB|d=2|x1y2-x2y1|.(2)设l1:y=kx,则l2:y=-x.设A(x1,y1),C(x2,y2).由得=.同理=.由(1),S=2|x1y2-x2y1|=2=|x1x2|=,整理得S=.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1), P2(x2,y2),记=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若0,则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线. (1)求证:点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围.【解题指南】(1)我们只要利用题设定义求出的值,若0,则结论就可得证.(2)直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线,首先直线与曲线无交点,即直线方程与曲线方程联立方程组方程组应无实解,方程组变形为(1-4k2)x2 -1=0,此方程就无实解,注意分类讨论,按二次项系数为0和不为0分类,然后在曲线上找到两点位于直线y=kx的两侧,则可得到所求范围.【解析】(1)由题得,=2(-2)0,所以A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔.(2)由题得,直线y=kx与曲线x2-4y2=1无交点,即(1-4k2)x2-1=0无解所以1-4k2=0或所以k.又对任意的k,点(1,0)和(-1,0)在曲线x2-2y2=1上,满足=-k20)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,=2,求抛物线C的方程.【解析】(1)设直线l1的方程为x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得y2-2pmy-4p=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-4p.k1+k2=+=+=0.(2)设点P(x0,y0),直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,yM=,同理yN=.因为=2,所以4+yNyM=2,即=-2,故p=,所以抛物线C的方程为y2=x.
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