资源描述
课时分层作业 六函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018西安模拟)下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=exC.y=cos xD.y=ex-e-x【解析】选D.A,B中显然为非奇非偶函数;C中y=cos x 为偶函数.D中函数定义域为R,又f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数.2.若函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为()A.1B.-C.1或-D.0【解析】选C.因为函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(-x)=ax2-(2a2-a-1)x+1=ax2+(2a2-a-1)x+1,即-(2a2-a-1)=2a2-a-1,所以2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.【一题多解】解答本题还有如下解法:方法一:选C.(特例法)因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即a(-1)2+(2a2-a-1)(-1)+1=a12+(2a2-a-1)1+1,即-(2a2-a-1)=2a2-a-1,所以2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.方法二:选C.利用解析式的特征,因为f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,所以x的系数为0,即2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.3.(2018日喀则模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=()A.-1B.-3C.1D.3【解析】选A.因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2),又x0时,f(x)=log3(1+x),所以f(-2)=-log3(1+2)=-1.4.已知函数f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,若对于任意的实数x0,都有f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 018) +f(2 019)的值为()A.-1B.-2C.2D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,且周期为2,所以f(-2 018)+f(2 019) =-f(2 018)+f(2 019)=-f(0)+f(1).又当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),所以f(-2 018)+f(2 019)=-f(0)+f(1)=-0+1=1.5.(2018佛山模拟)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+D.y=x2+sin x【解析】选D.对于A,定义域为R,f(-x)=-x+sin(-2x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于B,定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于C,定义域为R, f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;对于D,f(x)=x2+sin x,f=+ sin=+1,f=+sin=-1,因为ff且f-f,所以y=x2+sin x为非奇非偶函数.6.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,如果x10,且|x1|0B.f(x1)+f(x2)0D.f(x1)-f(x2)f(|-x2|),又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,x10,所以f(x1)-f(x2)0,f(-x1)-f(-x2)0.7.(2018鄂尔多斯模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=4x-2x-f(1),则f(-1)的值为()A.1B.-1C.eD.-e【解析】选B.当x0时,f(x)=4x-2x-f(1),所以当x=1时,f(1)=4-2-f(1),即2f(1)=2,则f(1)=1,因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=_.【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(-x)=,所以=-,移项化简得:=0对定义域内的x恒成立,所以k2-1=0,解得k=1.答案:1【误区警示】解答本题易出现如下两种错误:一是计算错误,出现错解;二是忽略函数的定义域,利用f(0)=0,得到k=1.【变式备选】(2018长沙模拟)已知 f(x)=ln(e2x+1)+kx是偶函数,则k=_.【解析】函数是偶函数,则:f(ln 2)=f(-ln 2),即:ln(e2ln 2+1)+kln 2=ln(e2(-ln 2)+1)+k(-ln 2),解得:k=-1.答案:-19.(2018武汉模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)+f(-x)=0;f(x)=f(x+2);当0x1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+f+f(2)+f=_.【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:【变式备选】已知函数f(x)= 为奇函数,则f(g(-1)=_.【解析】由函数是奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x0,所以f(-x)=x2-3x,所以f(x)=-x2+3x,所以g(x)=-x2+3x,所以f(g(-1)=f(-4)=-16-12=-28.答案:-2810.设函数f(x)=tan xln x2+1,若f(a)=11,则f(-a)=_.【解析】令g(x)=f(x)-1=tan xln x2,则g(x)为奇函数,又因为f(a)=11,所以g(a)=f(a)-1=11-1=10,所以g(-a)=-10=f(-a)-1,所以f(-a)=-9.答案:-91.(5分)(2018合肥模拟)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性一致的函数是()A.y=B.y=tan xC.y=x+D.y=2x-2-x【解析】选D.函数y=x3是奇函数且是增函数,对于A,函数是非奇非偶函数;对于B,函数在定义域上无单调性;对于C,函数在定义域上无单调性;对于D,函数是奇函数且是增函数.2.(5分)(2018莆田模拟)对于函数f(x)=asin x+bx3+cx+1(a,b,cR),选取a,b,c的一组值计算f(1),f(-1),所得出的正确结果可能是()A.2和1B.2和0C.2和-1D.2和-2【解析】选B.设g(x)=asin x+bx3+cx,显然g(x)为定义域上的奇函数,所以g(1)+g(-1)=0,所以f(1)+f(-1)=g(1)+g(-1)+2=2,只有B选项中两个值的和为2.3.(5分)已知y=f(x)是偶函数,且当0x1时,f(x)=sin x,而y=f(x+1)是奇函数,则a=f(-3.5),b=f(7),c=f(12)的大小关系是 ()A.cbaB.cabC.acbD.abc【解析】选B.因为y=f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),因为y=f(x+1)是奇函数,所以f(x)=-f(2-x),所以f(-x)=-f(2-x),即f(x)=f(x+4).所以函数f(x)的周期为4,又因为当0x1时,f(x)=sin x,所以函数在0,1上单调递增,因为a=f(-3.5)=f(-3.5+4)=f(0.5);b=f(7)=f(7-8)=f(-1)=f(1),c=f(12)=f(12-12)=f(0),又因为f(x)在0,1上为增函数,所以f(0)f(0.5)f(1),即cab.4.(5分)已知f(x)=为偶函数,则ab=_. 【解析】当x0时,f(x)=3x2-4x,f(x)min=f=-,f=0.当x0时,f=-,且f=0代入f(x)=ax2+bx中得:-=-,-=0.从而a=3,b=4.所以ab=12.答案:12【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设x0,f(-x)=3(-x)2-4(-x)=3x2+4x.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=3x2+4x,结合已知条件得:a=3,b=4,所以ab=12.答案:125.(10分)设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1x0时,f(x)=-x.(1)判定f(x)的奇偶性.(2)试求出函数f(x)在区间-1,2上的解析式.【解析】(1)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.(2)当x0,1时,-x-1,0,则f(x)=f(-x)=x;进而当1x2时,-1x-20,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.故f(x)=【变式备选】已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象知所以10且a1)是奇函数. (1)求常数k的值.(2)设a1,试判断函数y=f(x)在R上的单调性,并解关于x的不等式f(x2)+f(2x-1)0.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R,f(x)是奇函数,所以f(0)=k-1=0,所以k=1.(2)由(1)知f(x)=ax-a-x,设x1,x2R,且x11,x1x2,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在R上是单调递增函数,由f(x2)+f(2x-1)0,得f(x2)-f(2x-1),即f(x2)f(1-2x),因为f(x)在R上单调递增,所以x21-2x,即x2+2x-10,解得-1-x-1+,所以原不等式的解集为(-1-,-1+).
展开阅读全文