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第1讲不等式的解法与三个“二次”的关系考情考向分析不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用热点一不等式解法例1(1)(2018江苏兴化一中模拟)已知定义在区间2,2上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，当2x0时，f(x)x2x，则不等式f(x)x的解集为_答案1,2解析当2x0时，解f(x)x即x2xx得0x2，舍去；当0x2时，f(x)f(x2)(x2)2(x2)，解f(x)x得x27x60, 所以1x6 ，因此1x2；当x2时，f(2)f(0)f(2)2.综上，不等式f(x)x的解集为.(2)解关于x的不等式(x2)(ax2)0.解当a0时，原不等式可化为x20，所以x0，当a1时，0，所以x2.当a1时，2，原不等式化为(x2)20，所以xR且x2.当0a2，原不等式化为(x2)0，则x.当a0时，2，原不等式化为(x2)0，所以x2.综上所述，当a0时，原不等式的解集为x|x1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为x|xR且x2；当0a1时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为.思维升华不等式的解法主要是两种：一种是直接利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数，判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解跟踪演练1(1) 已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集是_答案1,1解析依题意得或1x0或0x11x1.(2)在R上定义运算：abab2ab，则不等式x(x2)0的解集是_答案解析由题意得，x(x2)x(x2)2xx2，解x(x2)2xx20，得2x1.热点二三个“二次”之间的关系例2已知函数f(x)x|xa|，aR，g(x)x21.(1)当a1时，解不等式f(x)g(x)；(2)记函数f(x)在区间0,2上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式解(1)由f(x)g(x)，当a1时，即解不等式x|x1|x21.当x1时，不等式为x2xx21，解得x1，所以x1；当x1时，不等式为xx2x21，解得x1，所以x1.综上，不等式f(x)g(x)的解集为.(2)因为x0,2，当a0时，f(x)x2ax，则f(x)在区间0,2上是增函数，所以F(a)f(2)42a.当0a2时，f(x)则f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间a,2上是增函数，所以F(a)max，而f，f(2)42a，令ff(2)，即42a，解得44a44，所以当0a44时，F(a)42a；令ff(2)，即42a，解得a44或a44，所以当44a2时，F(a).当a2时，f(x)x2ax，当12，即2a4时，f(x)在区间上是增函数，在上是减函数，则F(a)f；当2，即a4时，f(x)在区间0,2上是增函数，则F(a)f(2)2a4.综上，F(a)思维升华三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形跟踪演练2(1)已知m，n为实数，若关于x的不等式x2mxn0的解集为(1,3)，则mn的值为_答案5解析由题意得，1,3为方程x2mxn0的两根，因此解得m2，n3，mn5.(2)(2018江苏徐州三中月考)已知函数f(x)x2axb的值域为，若关于x的不等式f(x)c1的解集为，则实数c的值为_答案解析由题意得0，a24b0，f(x)2 ，由f(x)c1有解得c1，即21c，x0，且a1)若对于1x1x2的任意实数x1，x2都有f(x1)f(x2)0，且a1)，设g(x)x2ax3，由题意得或则2a4或0a0对x(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是_答案(，2解析不等式x2kxk10对x(1,2)恒成立可化为(1x)k1x2对x(1,2)恒成立，即k1x对x(1,2)恒成立，而函数y1x在(1,2)上为单调递增函数，所以k112，即实数k的取值范围是(，2(2)若关于x的不等式ax2|x|2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为_答案解析方法一设f(x)a|x|2|x|2a，原不等式ax2|x|2a0的解集为，即f(x)0恒成立，令t|x|，即g(t)at2t2a在0，)上恒有g(t)0，则或解得a.方法二当a0时，|x|0，不等式解集为x|x0，不满足题意；当a0时，根据题意得解得a.综上所述，a的取值范围是.1(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10，即log2xlog22，解得x2，满足x0，所以函数f(x)的定义域为x|x22已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.3已知aR，关于x的一元二次不等式2x217xa0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为_答案(30,33解析二次函数f(x)2x217xa的对称轴为x，所以3个整数为3,4,5.所以解得30a33.4已知函数f(x)，xR，则不等式f(x22x)f(3x4)的解集是_答案(1,2)解析由题意得f(x)作出其图象如图所示f(x22x)f(3x4)，解得1x2.5(2018江苏省南京市金陵中学月考)已知0x2时，不等式1tx22x1恒成立，则t的取值范围是_答案解析当x0时， 101成立；当0x2时，有t在(0,2上恒成立，因为21，所以max1，则t1；因为21在上单调递增，所以min21，则t；由可得， 1t.A组专题通关1已知函数f(x)的定义域为A,2A，则a的取值范围是_答案(1,3)解析2A，44aa210，即a24a30，解得1a3.2若a0的解集是_答案(，5a)(a，)解析由x24ax5a20，得(x5a)(xa)0，因为a0，所以xa.3函数y的定义域是R，则实数k的取值范围为_答案0,1解析由题意知，kx24kx(k3)0的解集为R.(1)当k0时，不等式为30，成立(2)当k0时，kx24kx(k3)0的解集为R等价于函数ykx24kx(k3)的图象与x轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x轴上方，所以解得00，则实数a的取值范围是_答案(，5)解析令f(x)2x2ax2，若存在实数x1,2满足2x2ax20，则f(1)0或f(2)0，即4a0或102a0，即a4或a5，故a5，即实数a的取值范围是(，5)6已知函数 f(x)则不等式f(f(x)3的解集为_答案(，解析由题意得f(f(x)3f(x)0或f(x)3x0或x.7关于x的不等式x24ax4a2a0对任意xR都不成立，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由题意，不等式x24ax4a2a0的解集为，则x24ax4a2a0对任意xR恒成立，16a240，0.又a2a120恒成立，a10，即a1.8已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值范围是_答案(1,5解析令f(x)x22(a2)xa，则当4(a2)24a0，即1a0在R上恒成立，符合题意；当0，即a1或a4时，函数f(x)的两个零点都在1,5上，则解得4a5.综上，实数a的取值范围是(1,59已知集合Ax|(x6)(x2a5)0，集合Bx|(a22)x(2ax)0(1)若a5，求集合AB；(2)已知a，且“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围解(1)由集合A中的不等式(x6)(x15)0，解得x6或x15，即A(，6)(15，)，集合B中的不等式为(27x)(10x)0，即(x27)(x10)0，解得10x27，即B(10,27)，AB(15,27)(2)当a时，2a56，A(，6)(2a5，)，a222a，B(2a，a22)，xA”是“xB”的必要不充分条件，BA，a226，a2.即实数a的取值范围是.10解关于x的不等式：x2(3a1)x3a0(aR)解x2(3a1)x3a0(aR)等价于(x3a)(x1)0(aR)(1)当a时，3a1，x3a或x1；(2)当a时，3a1，x1；(3)当a时，3a1，x1或x3a；综上，原不等式的解集(1)当a时为(，3a)(1，)；(2)当a时为(，1)(1，)；(3)当a时为(，1)(3a，)B组能力提高11对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则a的取值范围为_答案(，1)解析函数f(x)x2(a4)x42a的对称轴为x.当6时，f(x)在1,1上单调递增，f(x)的值恒大于零等价于f(1)1(a4)(1)42a0，解得a0，即a21，即a0，即a1，故有a0且a1)在上恒为正，则实数a的取值范围是_答案解析设g(x)ax2x，x，需满足g(x)ax2x0，即a，设h(x)，则h(x)，x，h(x)0，h(x)在上单调递减，max，从而a，可得函数g(x)ax2x的对称轴为x1时，函数f(x)在上单调递增，f(1)loga0a，当a0a，即a，故答案为.13已知函数f(x)|x|x4|，则不等式f(x22)f(x)的解集用区间表示为_答案(，2)(，)解析函数f(x)的图象如图，可知图象关于直线x2对称因为x220且f(x22)f(x)，则必有或解得x(，2)(，)14设函数f(x)x2axb(a，bR)(1)当b1时，求函数f(x)在区间1,1上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在区间1,1上存在零点，且0b2a1，求实数b的取值范围解(1)当b1时，函数f(x)21，故其图象的对称轴为直线x.当1，即a2时，f(x)在1,1上单调减，g(a)f(1)a2；当11，即22时，f(x)在1,1上单调增，g(a)f(1)a2.综上，g(a)(2)设s，t为方程f(x)0的解，且1t1，则因为0b2a1，所以s(1t1)当0t1时，st，设g(t)，则g(t)，当t0,1时，g(t)0，设h(t)，则h(t)，当t0，2)时，h(t)0，当t(2,1时，h(t)0.所以0，94，所以b94.当1t0时，st，因为当t1,0)时，g(t)0，h(t)0，所以20和30，所以3b0.故b的取值范围是3,94
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