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第11讲函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使的实数x叫作函数y=f(x)(xD)的零点.(2)等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与有交点函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系0=00)的图像与x轴的交点无交点零点个数常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一常识题1.教材改编 函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是.2.教材改编 如果函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n=.3.教材改编 函数f(x)=x3-2x2+x的零点是.4.教材改编 若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是.题组二常错题索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数f(x)=x+1x的零点个数是.6.函数f(x)=x2-3x的零点是.7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是.8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是.探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (2)已知函数f(x)=lg x+54x-5在区间(n,n+1)(nZ)上存在零点,则n=.总结反思 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.变式题 2018南昌模拟 函数f(x)=ln(x+1)-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)探究点二函数零点个数的讨论例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-32+x=f32+x,当x0,32时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是()A.3B.5C.7D.9(2)2018河南中原名校模拟 函数f(x)=sin2x+2-log3x的零点个数为.总结反思 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.变式题 (1)2018重庆巴蜀中学月考 函数f(x)=3x-2e-x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3(2)已知函数f(x)=lnx,x0,ex,x0,则函数g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零点个数为.探究点三函数零点的应用例3 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则()A.f(b)0g(a)B.g(a)0f(b)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)1,2-ex,x1,若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则实数m的取值范围是() A.(-2,0)B.(-1,0)C.(-2,0)(0,+)D.(-1,0)(0,+)总结反思 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.变式题 (1)2018山东、湖北部分重点中学二模 若函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2恰有两个零点,则m的取值范围为()A.(0,1B.1C.0(1,3D.0,3(2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零点,则下列结论成立的是()A.x1=x2B.x1x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11讲函数与方程考试说明 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)f(b)0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210对点演练1.1解析 函数f(x)单调递增,且f(2)0,故存在唯一零点.2.0解析 函数f(x)单调递增,且f(0)0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0.3.0,1解析 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1.4.(-,4)解析 =16-4a0,解得a0时,f(x)0,当x0时,f(x)0即可,即-1+m0且8+m0,解得-8m1.8.(0,4)解析 =k2-4k0,解得0k4.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用零点存在性定理判断即可;(2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.(1)C(2)3解析 (1)f(-1)=1e-10,f(0)=-10,f(1)=e-30,故选C.(2)f(x)=lg x+54x-5是定义在(0,+)上的增函数,根据零点存在性定理,可得f(n)0.因为f(1)=54-50,f(2)=lg 2+52-50,f(3)=lg 3+154-50,所以函数f(x)在(3,4)上存在零点,故n=3.变式题B解析 f(x)=ln(x+1)-2x2在(0,+)上单调递增,且f(1)=ln 2-20,则f(1)f(2)0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果.(1)D(2)6解析 (1)f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-32+x=f32+x,f-32+x+32=f32+x+32,可得f(x+3)=f(x),则函数f(x)的周期为3.当x0,32时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又函数f(x)是定义域为R的奇函数,在区间-32,32上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f-32+x=f32+x,取x=0,得f-32=f32,又f32=-f-32,f32=f-32=0,f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0.又函数f(x)是周期为3的周期函数,函数f(x)在区间0,6上的零点有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9个.(2)函数f(x)=sin2x+2-log3x=cos 2x-log3x的零点个数就是y=log3x与y=cos 2x(x0)图像的交点个数.在同一坐标系内作出y=log3x与y=cos 2x(x0)的图像,如图,由图可知,y=log3x与y=cos 2x(x0)的图像有6个交点,所以函数f(x)=sin2x+2-log3x的零点个数为6.变式题(1)B(2)3解析 (1)y=3x单调递增,y=-2e-x单调递增,f(x)=3x-2e-x单调递增.f(0)=-20,由零点存在性定理可得,f(x)=3x-2e-x的零点个数为1,故选B.(2)函数g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零点个数即为方程f(x)2-3f(x)+2=0的解的个数,解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x0)或ex=1(x0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x0)或ex=2(x0),解得x=e2.所以函数g(x)共有3个零点.例3思路点拨 (1)首先确定函数f(x)和g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案.(1)B(2)D解析 (1)易知f(x)是增函数,g(x)在(0,+)上也是增函数.由于f(0)=-10,所以0a1.又g(1)=-20,所以1bf(1)0,g(a)g(1)0,据此可知g(a)00时,满足条件;当m=-1时,直线y=m(x-1)与y=2-ex(x1)的图像相切,可得当-1m0时,满足条件.故m(-1,0)(0,+).变式题(1)C(2)D解析 (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2的零点个数就是y=cos x+2|cos x|=3cosx,x0,232,2,-cosx,x2,32的图像与y=m的图像的交点个数.作出y=cos x+2|cos x|,x0,2的图像,如图,由图像可知,当m=0或10)与曲线y=log2x交点的横坐标. 因为曲线y=1x关于直线y=x对称,且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,所以点x1,1x1与点x2,1x2关于直线y=x对称,所以1x2-1x1x2-x1=-1,可得x1x2=1,故选D.【备选理由】 例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.例1配合例1使用 2018运城二模 已知x0是函数f(x)=2sin x-ln x(x(0,)的零点,则()A.x0(0,1)B.x0(1,e)C.x0(e,3)D.x0(e,)解析 B设h(x)=2sin x(x(0,),g(x)=ln x(x(0,),则g(1)=0,g(e)=2,作出函数h(x)与g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即x0(1,e).例2配合例2使用 2018茂名模拟 已知定义在R上的函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x0,1时,f(x)=sin2x,则函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间-2018,2018上的零点个数为()A.2017B.2018C.4034D.4036解析 D函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间-2018,2018上的零点个数,就是y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间-2018,2018上的交点个数.函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,函数y=f(x)的图像的对称轴为直线x=0,故y=f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).又函数f(x+1)是偶函数,f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x),函数f(x)是周期为2的偶函数.又当x0,1时,f(x)=sin2x,画出y=f(x)与y=1e|x|的部分图像如图所示,由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间-2018,2018上的零点个数为20182=4036.故选D.例3配合例3使用 函数y=g(x)(xR)的图像如图所示,若关于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是.答案 -32,-43解析 设g(x)=t, 关于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,关于t的方程t2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在1,+)上.设h(t)=t2+mt+2m+3,当有一个根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-43,此时另一个根为13,符合题意;当没有根为1时,则h(0)=2m+30,h(1)=1+m+2m+30,解得-32m-43.综上可得,m的取值范围是-32,-43.
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