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专题03 导数与应用一、选择题1. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B2. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时， ；当时， ；所以当时，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时，选C. 4. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知是方程的实根，则下列关于实数的判断正确有_. 【答案】.5. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】曲线在处的切线倾斜角是（ ）A B C D【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为故本题答案选6. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】D7. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是A B C D【答案】A【解析】令，则，所以在单调递减，单调递增，所以，则, 2. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知且对任意的恒成立，则的最小值为_【答案】1【解析】设，则由得： ，当当时， ，当时， ，所以当时， 有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，令（），当时， ，当时， ，所以当时，所以，故填三、解答题1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见解析当时，令，得，在区间上，函数单调递增；在区间上，函数单调递减，故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.若恰有一个零点，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.设，则上式转化为，设，在区间上单调递增，即，即. 3. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知函数(1)若，证明：当；(2)设，若函数上有2个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）（2）法一：（i）当时，没有零；（ii）当时，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故是在上的最小值若，即时，在上没有零点； 若，即时，在上只有1个零点； 若，即时，由于，所以在（0，2）上有1个零点， 由（1）知，当时， 4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知函数.（1）当，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）已知， ， 均为正实数，且，求证.【答案】(1) (2) (3)见解析函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.设，则在上单调递增，在上的值域为. 6. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.（2）由题意得， 当时，函数的图象恒不在轴的上方，在上恒成立设，则.令，则，若，则，故在上单调递增，在上单调递增， 8. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，由已知得，所以，设，则，在上恒成立，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是综上所述，对任意令，则恒成立，所以在上递增，恒成立，即，即当时，有；当时，由式，综上所述，时，成立，故原不等式成立9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）证明：由题可知 ，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以（*）式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增. （2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e上没有零点.因为.所以由 lnx+1-a00xea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增. 当ea-11，即a1时，g（x）在（1,e上单调递增，所以g（x）g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e上没有零点， 当1ea-1e,即1a2时，g（x）在1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1，所以（i）当1a时，g（x）在1,e上的最大值g（e）0，即此时函数g（x）在(1,e上有零点. （ii）当a2时，g（e）0，即此时函数g（x）在（1,e上没有零点，当eea-1即a2时，g（x）在1,e上单调递减，所以g（x）在1,e上满足g（x）g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的a的取值范围是或.11. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数的零点的个数。【答案】(1)见解析；（2）见解析.（2）解：据题意，得.当时，恒成立.则函数在上是减函数。又，所以函数有且只有一个零点. 当时.由，得.当时，；当时，所以在区间内是减函数，在区间内是增函数.所以是函数的极小值点，也是最小值点，即. 令，则，当时，；当时，；当时，所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，即（当且仅当时取等号）当，即时，函数只有一个零点当，即，且时，分和两种情况讨论：（i）当时，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.（ii）当时，；由（1），得.即，亦即.令.则得，即，12. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】设函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；(3)当，方程有唯一实数解，求正数的值.【答案】（1）（2） （3）【解析】 (1)依题意，知的定义域为，当时，令，解得.()因为 有唯一解，所以，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.(2)，则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.(3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，因为，所以 (舍去)，当时，在上单调递减； 此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有个零点.当且,即时,因为, ,所以分别在区间,和上恰有1个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.14. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意，有.【答案】(1)见解析.(2)证明明见解析.（2）考虑函数，则由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有.15. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数（）（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点， （），求取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时， ，因为，解得，由于，于是.令，则，在上单调递减，.即.故的取值范围为.16. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】设函数，其中.（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（），设，则，当时，函数在为增函数，无极值点.当时，若时， ，函数在为增函数，无极值点.若时，设的两个不相等的正实数根，且，则所以当，单调递增；当，单调递减；当， ，单调递增.因此此时函数有两个极值点；同理当时的两个不相等的实数根，且，当，单调递减，当，单调递增；所以函数只有一个极值点. 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.（）对于，由（）知当时函数在上为增函数，由，所以成立.若，设的两个不相等的正实数根，且，.则若，成立，则要求，即解得.此时在为增函数，成立若当时令，显然不恒成立.综上所述，的取值范围是.17. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，其中aR.（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）的结论下，若关于x的不等式，当x1时恒成立，求t的值.【答案】(1) ； (2).18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与图象的交点个数.【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）1个.（2）令，问题等价于求函数的零点个数，当时，有唯一零点；当时，当时，函数为减函数，注意到，所以有唯一零点；当时，由得或，由得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，注意到，所以有唯一零点；当时，由得，或，由得，
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