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第3节 运动图像 追及和相遇问题一、运动图像注11xt图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。注2 2vt图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。(3)“面积”的意义图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。若面积在时间轴的上方，表示位移方向为方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为方向。二、追及和相遇问题1追及问题的两类情况注3(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。2相遇问题注4相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【注解释疑】注1 无论vt图像还是xt图像，描述的一定是直线运动。注2 斜率是数学语言，表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义，可表示物体运动的速度或加速度。注3 速度相等是判断追上或追不上的切入点。注4 同向追及时，当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。深化理解1识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。(2)错将图线的交点都当成相遇，而vt图线的交点表示该时刻速度相同。(3)错误理解图线斜率的意义，比如认为vt图像斜率为正，则质点一定做加速运动，斜率为负，则质点一定做减速运动。2追及和相遇问题分两类，一类为一定能追上，直接列位移方程，找位移关系；另一类为可能追上，需根据速度关系判断能否追上。基础自测一、判断题(1)xt图像和vt图像都表示物体运动的轨迹。()(2)xt图像和vt图像都只能描述直线运动。()(3)xt图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。()(4)vt图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。()(5)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者。()(6)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最近或最远。()(7)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。()二、选择题1沪科版必修1 P43T6改编(多选)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图像，已知甲对应的是图像中的直线，乙对应的是图像中的曲线，则下列说法正确的是()A甲做匀减速直线运动B乙做变速直线运动C0t1时间内两物体平均速度大小相等D两物体的运动方向相反解析：选BD结合题意分析题图易知，题图中图像的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A项错误；乙图线切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B项正确；根据坐标的变化量等于位移知，0t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C项错误；根据图像的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D项正确。2(多选)物体做直线运动的vt图像如图所示，根据图像提供的信息可知()A第4 s初物体运动的加速度为2 m/s2B前8 s内物体运动的位移为32 mC在04 s内与46 s内物体运动的加速度方向相反D在04 s内与46 s内物体运动的平均速度相等解析：选BC图像的斜率表示加速度，则第4 s初物体运动的加速度a m/s21 m/s2，故A项错误；图像与坐标轴围成面积代表位移，前8 s内物体运动的位移x(48)4 m82 m32 m，故B项正确；在04 s 内与46 s内物体运动的速度都为正，加速度方向相反，故C项正确；在04 s内的平均速度v1 m/s6 m/s,46 s内的平均速度v2 m/s4 m/s，故D项错误。3粤教版必修1 P47T17改编一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则()A人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 mB人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 mC人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 mD人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远解析：选B在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t6 s，人运动距离为66 m36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m25 m36 m7 m，选项A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。高考对本节内容的考查，主要集中在xt图像、vt图像及追及相遇问题。其中对xt图像和vt图像的考查，主要以选择题的形式呈现，难度中等，而对追及相遇问题的考查，常结合具体的生活情景，题型有选择题，也有计算题，难度更大一些。考点一运动图像的理解和应用多维探究类1读图获取解题信息第一层(1)确认纵、横坐标轴对应的物理量及其单位(2)注意纵、横坐标是否从零刻度开始关注坐标轴第二层图线在坐标轴上的截距表示运动的初始情况理解截距、斜率、面积斜率通常能够体现某个物理量(如vt图像的斜率反映了加速度)的大小、方向及变化情况最常见的是vt图像中面积表示位移，但要注意时间轴下方的面积为负，说明这段位移与正方向相反第三层交点往往是解决问题的切入点，注意交点表示物理量相等，不一定代表物体相遇分析交点、转折点、渐近线转折点表示物理量发生突变，满足不同的函数关系式，如vt图像中速度由增变减，表明加速度突然反向利用渐近线可以求出该物理量的极值或确定它的变化趋势2作图和用图快速解题依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，做出与之对应的示意图或数学函数图像，往往可以快速、直观地研究和处理问题。考法(一)图像信息类问题例1(多选)(2018全国卷)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是()A在t1时刻两车速度相等B从0到t1时间内，两车走过的路程相等C从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等解析xt图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误。由两图线的纵截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误。t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。答案CD考法(二)图像选择类问题例2从塔顶由静止释放一个小球A的时刻为计时零点，t0时刻，在与A球t0时刻所在位置的同一水平高度，由静止释放小球B，若两球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在A、B两球落地前，A、B两球之间的距离为x，则 t0的图线为()解析A、B两球释放后都做自由落体运动，B球释放时，A球的速度vAgt0，B球释放后t时间时，A、B两球之间的距离xvAtgt2gt2gt0t，则gt0，所以 t0的图线为一条过原点的倾斜直线，斜率为g，故B正确。答案B题型技法解决这类问题时，首先要将题目给出的情景分析透彻，然后根据情景分析图像中物理量之间的关系，或者直接将图像与题目所描述的情景相对照，看是否吻合进行判断。考法(三)图像转换类问题例3一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的vt图像正确的是()解析根据加速度随时间变化的图像可得，01 s内为匀加速直线运动，速度vatt，速度为正方向，选项D错误。第1 s末的速度v1 m/s,12 s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此为减速运动，v1 m/sa(t1)，到2 s末，速度减小为0，选项B错误。23 s，加速度为正方向，初速度为0，物体做正方向的匀加速直线运动，va(t2)t2，即从第2 s开始又重复前面的运动，选项C正确，A错误。答案C题型技法解决图像转换类问题的一般流程：考法(四)图像应用类问题例4某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是()AvBvCv D.v解析该同学假设飞机做匀减速运动，所用的时间为t，画出相应的vt图像大致如图所示的虚线。根据图像的意义可知，虚线下方的“面积”表示位移。因为位移为x，则得出初速度为。实际上，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，vt图像切线的斜率减小，画出相应的vt图像大致如图所示的实线。根据图像的意义可知，实线下方的“面积”表示位移。所以飞机着陆时的速度v，故选项C正确。答案C题型技法此类问题看似与图像无关，但常规解法晦涩难懂，掌握构图技巧，则难题迎刃而解。(1)认真审题，根据需要确定纵、横坐标轴对应的物理量。(2)结合具体的物理过程和相应的物理规律，找出两物理量的制约关系，作出函数图像。(3)根据图像结合数学知识进行分析、判断。题点全练1根据xt图像分析两车的运动在平直公路上行驶的a车和b车，其位移时间(x t)图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且等于2 m/s2，t3 s时，直线a和曲线b刚好相切，则()Aa车做匀速运动且其速度为va m/sBt3 s时a车和b车相遇但此时速度不等Ct1 s时b车的速度为10 m/sDt0时a车和b车的距离x09 m解析：选Dx t图像的斜率等于速度，由题图可知，a车的速度不变，做匀速直线运动，速度为：va m/s2 m/s，故A错误。t3 s 时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时两车的速度相等，故B错误。t3 s时，b车的速度为：vbva2 m/s，设b车的初速度为v0，对b车，由v0atvb，解得：v08 m/s，则t1 s时b车的速度为：vbv0at18 m/s21 m/s6 m/s，故C错误。t3 s时，a车的位移为：xavat6 m，b车的位移为：xbt3 m15 m，t3 s 时，a车和b车到达同一位置，得：x0xbxa9 m，故D正确。2根据vt图像选择at图像质点做直线运动的速度时间图像如图所示，下图中表示质点加速度时间图像正确的是()解析：选B在速度时间图像中，斜率的正负和大小表示加速度的正负和大小，在01 s和35 s内斜率为正，加速度为2 m/s2,13 s和56 s内斜率为负，加速度为2 m/s2，B正确，A、C、D错误。3根据滑块的运动情况选择运动图像如图所示，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。对于该运动过程，若用h、s、v、a分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是()解析：选B在下滑的过程中，根据牛顿第二定律可得：mgsin mgcos ma，故加速度保持不变，所以选项D错误；滑块做匀减速直线运动，vt图像应为一条倾斜直线，故选项C错误；根据匀变速直线运动的规律得sv0tat2，所以st图像应为过原点的抛物线的一部分，故选项B正确；下降的高度hssin ，故ht图像与st图像相似，所以选项A错误。4应用运动图像分析竖直上抛运动在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0从同一地点竖直上抛另一物体B。若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔t必须满足的条件是(不计空气阻力)()A.t B.tC.t D.t解析：选D依据xv0tgt2作出xt图像，如图所示，显然，两条图线相交表示A、B相遇。由图线可直接看出，当t满足关系式t时，A、B可在空中相遇，选项D正确。考点二追及和相遇问题师生共研类1解答追及和相遇问题的三种方法情景分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情景图函数判断法设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况图像分析法将两个物体运动的速度时间关系或位移时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题2情景分析法的基本思路典例汽车A以vA4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x07 m处、以vB10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a2 m/s2。从此刻开始计时。求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？(2)经过多长时间A恰好追上B?解题指导汽车A和B的运动过程如图所示。解析(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vvBatvA，解得t3 s此时汽车A的位移xAvAt12 m汽车B的位移xBvBtat221 m故最远距离xmaxxBx0xA16 m。(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t15 s运动的位移xB25 m汽车A在t1时间内运动的位移xAvAt120 m此时相距xxBx0xA12 m汽车A需再运动的时间t23 s故A追上B所用时间t总t1t28 s。答案(1)16 m(2)8 s延伸思考(1)若某同学应用关系式vBtat2x0vAt解得经过t7 s(另解舍去)时A恰好追上B。这个结果合理吗？为什么？(2)若汽车A以vA4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x07 m处，以vB10 m/s的速度同方向运动的汽车B正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？提示：(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t5 s7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动。(2)可由位移关系式：vBtat2x0vAt，解得t1(3)s，t2(3)s。例题及延伸思考旨在培养考生“贴合实际、全面分析”运动学问题的思维习惯：(1)如匀速运动的物体追匀减速运动的物体时，注意判断追上时被追的物体是否已停止。(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体时，有追不上、恰好追上、相撞或相遇两次等多种可能。题点全练1与xt图像相结合的追及相遇问题甲、乙两人同时同地骑自行车出发做直线运动，前1 h内的xt图像如图所示，下列表述正确的是()A0.20.5 h内，甲的速度比乙的小B0.20.5 h内，甲的加速度比乙的大C0.60.8 h内，甲的位移比乙的小D0.8 h时，甲追上乙解析：选Dxt图像的斜率表示速度，0.20.5 h内，甲的斜率大，则甲的速度比乙的大，故A错误。由题图知，0.20.5 h内，甲、乙都做匀速直线运动，加速度均为零，故B错误。物体的位移等于x的变化量，则知0.60.8 h内，甲的位移比乙的大，故C错误。0.8 h时，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正确。2与vt图像相结合的追及相遇问题(多选)(2018全国卷)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是()A两车在t1时刻也并排行驶B在t1时刻甲车在后，乙车在前C甲车的加速度大小先增大后减小D乙车的加速度大小先减小后增大解析：选BDt1t2时间内，v甲v乙，t2时刻相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误、B正确。由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误、D正确。3多种方法解决追及相遇问题在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：法一：情景分析法利用位移公式、速度公式求解对A车有sAv0t(2a)t2vAv0(2a)t对B车有sBat2，vBat对两车有ssAsB追上时，两车不相撞的临界条件是vAvB联立以上各式解得v0故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0。法二：函数判断法利用判别式求解，由法一可知sAssB，即v0t(2a)t2sat2整理得3at22v0t2s0这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式(2v0)243a2s0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0。法三：图像分析法利用速度时间图像求解，先作A、B两车的速度时间图像，其图像如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vAvv02at对B车有vBvat以上两式联立解得t经t时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s它可用图中的阴影面积表示，由图像可知sv0tv0所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0。答案：v0“专项研究”拓视野运动示意图和运动图像运动学问题如果单独作为考查点命制计算题，则往往涉及两个物体的运动关系问题，或者是一个物体的多过程、多情景的实际问题。对于这类问题，分析物理过程，作好运动示意图或运动图像，从而弄清运动物体运动过程中各阶段运动量间的联系，是寻找解题途径的关键。一、运动示意图运动示意图就是根据文字叙述而画出的用以形象描述物体运动过程的一种简图(或草图)。同时在图上标明物体运动的速度、加速度等状态量和位移、时间等过程量。运用运动示意图解题时，要分过程恰当选取运动学规律列方程，同时注意各过程间的位移关系、时间关系及速度关系，列出相应的辅助方程，再将各式联立求解，便可得出结果。例1一个气球以4 m/s的速度匀速竖直上升，气球下面系着一个重物，当气球上升到下面的重物离地面217 m时，系重物的绳子断了，不计空气阻力，问从此时起，重物经过多长时间落到地面？重物着地时的速度多大？(g取10 m/s2)解析绳子未断时，重物随着气球以4 m/s的速度匀速上升，当绳子断后，由于惯性，物体将在离地面217 m处，以4 m/s的初速度竖直上抛。运动示意图如图所示：重物由O A做匀减速直线运动，h10.8 m，t10.4 s重物由AB做自由落体运动，h1hgt22可解得：t2 6.6 s，故从绳子断到重物落地的总时间tt1t27 s重物落地时的速度vgt266 m/s。答案7 s66 m/s反思领悟由以上例题可以看出，对于较复杂的物体运动过程，画出运动过程示意图，综合分析物理过程，寻找物体运动位移关系等带来极大方便。在平时的练习中应尽量养成画运动示意图的好习惯。针对训练1甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L111 m处，乙车速度v乙60 m/s，甲车速度v甲50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2600 m，如图所示。若甲车加速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长。求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能否超过乙车。解析：(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲at1v乙，得t1 s5 s；甲车位移x甲v甲t1at12275 m，乙车位移x乙v乙t1605 m300 m，此过程中，甲、乙两车运动示意图如图所示：故此时两车之间的距离xx乙L1x甲36 m。(2)乙车匀速运动到达终点共需时间t210 s，此过程中甲车的位移x甲v甲t2at22600 m，运动示意图如图所示：此时甲、乙两车之间的距离xL1L2x甲11 m，故乙车到达终点时，甲车没有超过乙车。答案：(1)5 s36 m(2)不能二、运动图像图像作为表示物理规律的方法之一，可以直观地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系，以形象地描述物理规律。在运动学中，作为分析物理问题的一种途径，常用的运动图像为v t图像。v t图像的物理意义主要通过“点”“线”“面”“斜”“截”五个方面体现出来，应用图像时应从这五个方面入手，予以明确后才能准确表达物理过程及物理量变化的对应关系。例2摩托车在平直公路上从静止开始启动，加速度大小为a11.6 m/s2，稍后做匀速运动，然后以大小为a26.4 m/s2的加速度做匀减速运动，直到停止，共历时130 s，行程1 600 m。试求：(1)摩托车行驶的最大速度vmax；(2)若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？解析(1)整个运动过程分三个阶段：匀加速运动、匀速运动、匀减速运动。可借助vt图像表示，如图甲所示。利用推论公式v2v022ax有：vmax1 600 m。其中a11.6 m/s2，a26.4 m/s2。解得：vmax12.8 m/s(另一解舍去)。(2)首先要分析得出摩托车以什么样的方式运动可使得所需时间最短。借助图乙所示的v t图像可知：当摩托车先以a1做匀加速运动，当速度达到vmax时，紧接着以a2做匀减速运动直到停止时，行程不变，时间最短，如图乙对应图线所示。设最短时间为tmin，则tmin1 600 m其中a11.6 m/s2，a26.4 m/s2。由式解得vmax64 m/s，故tmin s s50 s。即最短时间为50 s。答案(1)12.8 m/s(2)50 s反思领悟由以上例题可以看出，将物体复杂的运动过程画在vt图像上，由图像上各点的斜率表示物体的加速度，某段图线下的“面积”数值上与该段位移大小相等，可将复杂问题简单化。针对训练2在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处。求：(1)恒力甲作用过程中物体的加速度a1与恒力乙作用过程中物体的加速度a2之比；(2)恒力甲作用过程中物体的末速度v1与恒力乙作用过程中物体的末速度v2之比。解析：对应题中叙述，设AB过程物体做初速度为0的匀加速运动，位移为x1，由匀变速运动位移公式和速度公式可以建立起方程。BCA过程，物体先向右做匀减速运动，然后向左做匀加速运动。下面从两个角度求解本题。法一：利用运动示意图求解AB过程，x1a1t2，v1a1tBC过程，x2v1ta2t2，0v1a2tCA过程，x1x2a2(tt)2，v2a2(tt)由以上方程联立可解得：，。法二：利用v t图像求解画出v t图像如图所示，由ABC过程的位移与CBA过程的位移大小相等。即图中SOBCSAQC得(tt)(tt)BC与CA过程加速度相同，即图线BC与图线CA斜率相同，可得由以上两式可解得tt，a1、a2的大小分别对应图线OB的斜率与图线BC的斜率，易得：。答案：(1)13(2)12
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