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模块综合检测 (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若ABC有一内角为，则ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题解析：选D原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A.BC8 D8解析：选B由yax2得x2y，8，a.3下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.4已知空间向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A. B.C. D.解析：选D由已知可得2ab(2,2n,4)(2,1,2)(4，2n1,2)又(2ab)b，82n140.2n5，n.|a| .5双曲线1(mn0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A. B.C. D.解析：选A抛物线y24x的焦点为F(1,0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21.又双曲线的离心率e 2，联立方程，解得故mn.6若直线y2x与双曲线1(a0，b0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A(1，) B(，)C(1， D，)解析：选B双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为yx.由条件知，应有2，故e .7已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2.当时，F1PF2面积最大，则mn的值是()A41 B15C9 D1解析：选B由SF1PF2|F1F2|yP3yP，知P为短轴端点时，F1PF2面积最大此时F1PF2，得a2 ，b，故mn15.8正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为()A. B.C. D.解析：选C取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分)9在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则动点P的轨迹方程是_解析：由4得x1y24，因此所求动点P的轨迹方程为x2y40.答案：x2y4010点F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60，ABl于B，ABF的面积为，则p的值为_，点A坐标为_解析：设A(x，y)，直线AF的倾斜角为60，y，ABF的面积为，y，A是抛物线在第一象限内的点，y22px，由可得p1，x，y.答案：111已知P为抛物线C：y24x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线方程为_，若准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF|3|QF|，则点P坐标为_解析：y24x，焦点坐标F(1,0)，准线方程x1.过P，Q分别作准线的射影分别为A，B，则由抛物线的定义可知：|PA|PF|，|QF|BQ|，|PF|3|QF|，|AP|3|QB|，即|AN|3|BN|，P，Q的纵坐标满足yP3yQ，设P，y0，则Q，N(1,0)，N，Q，P三点共线，解得y212，y2，此时x3，即点P的坐标为(3，2)答案：x1(3，2)12若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为_，渐近线方程为_解析：因为椭圆1的离心率e1，所以1e，即，而在双曲线1中，设离心率为e2，则e11，所以e2.渐近线方程为yx，即yx.答案：yx13已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1_.解析：由题意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，cosAF2F1.答案：14过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析：由题意，如图，在RtAOF中，AFO30，AOa，OFc，sin 30.e2.答案：215正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则EF与平面CDD1C1所成角的正弦值为_，EF与AB所成角的正切值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(2,0,1)，F(1,2,0)，(1,2，1)又平面CDD1C1的一个法向量为(0,2,0)，cos，故所求角的正弦值为.EF与AB所成角为EFC，tanEFC.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的范围解：(1)由x28x200得2x10，Px|2x10，xP是xS的充要条件，PS，这样的m不存在(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP.m3.综上，可知0m3时，xP是xS的必要条件17(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1 ，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的正切值大小解：法一：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC，AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD.ABA1C，ADABA，A1C平面ABD，BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD.在RtBAD中，tanADB，二面角AA1CB的正切值为.法二：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1AB，AA1AC.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)1000( )0，ABA1C.(2)取m(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量由(1)知：(1，0)，设平面A1BC的法向量n(x，y，z)，则xy，yz.令y1，则n(，1,1)，cos m，n，sinm，n ，tanm，n.二面角AA1CB的正切值为.18(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.19.(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，ABBC2CD2，AD，PE2BE.(1)求证：平面PAD平面PCD；(2)若二面角PACE的大小为45，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解：(1)证明：PC平面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又CDAD，PCCDC，AD平面PCD，又AD平面PAD，平面PAD平面PCD.(2)取AB的中点F，连接CF，则CFAB，如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，设PCa，则P(0,0，a)(a0)，E，A(，1,0)，(，1,0)，(0,0，a)，设m(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则取x1，得m(1，0)，设平面EAC的法向量n(x1，y1，z1)，则取x11，得n，二面角PACE的大小为45，cos 45|cosm，n|，解得a2，此时n(1，2)，(，1，2)，设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cos，n|.直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.20(本小题满分15分)已知椭圆C：1(ab0)的左顶点为(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l过点S(4,0)，与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P，P与Q两点的连线交x轴于点T，当PQT的面积最大时，求直线l的方程解：(1)由题意可得可得c1，b.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的方程为xmy4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P(x1，y1)，联立得(43m2)y224my360，则(24m)2144(43m2)144(m24)0，即m24.又y1y2，y1y2，直线PQ的方程为y(xx1)y1，则xT41，则T(1,0)，故|ST|3，所以SPQTSSQTSSPT|y1y2|，令t0，则SPQT，当且仅当t2，即m2，即m时取到“”，故所求直线l的方程为3x2120.
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