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考点规范练23解三角形一、基础巩固1.在ABC中,c=3,A=75,B=45,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.C.2D.4答案B解析在ABC中,c=3,A=75,B=45,故C=180-A-B=60.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故ABC的外接圆的面积S=R2=.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.(2018广东中山质检)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案A解析由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,cosB=12,B=3.又S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案D解析ABC的三内角A,B,C成等差数列,B=3.sinA,sinB,sinC成等比数列,sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案B解析依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0CAD0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sinC=12,所以C=6,故选B.12.(2018全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=30,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果ABC的面积等于8,a=5,tan B=-43,那么a+b+csinA+sinB+sinC=.答案5654解析在ABC中,tanB=-43,sinB=45,cosB=-35.又SABC=12acsinB=2c=8,c=4,b=a2+c2-2accosB=65.a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=5654.14.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于14a,求cos A的值.解(1)因为bcosC+bsinC=a,由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.因为A+B+C=,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.因为sinC0,所以sinB=cosB.因为cosB0,所以tanB=1.因为B(0,),所以B=4.(2)设BC边上的高线为AD,则AD=14a.因为B=4,则BD=AD=14a,CD=34a.所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=-55.三、高考预测15.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=23,求角C的大小.解(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsinA=2bc3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.
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