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课时分层作业 九幂函数与二次函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数y=的图象是()【解析】选B.由幂函数y=x,若01,在第一象限内过(1,1),排除A,D,又其图象上凸,则排除C.2.当x(0,+)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为 ()A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m【解题指南】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.【解析】选A.依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又因为函数在(0,+)上是减函数,所以-5m-3-,故m=-1舍去,所以m=2.【巧思妙解】选A.(特殊值验证法),验证m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意,而m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.3.幂函数y=(mZ)的图象如图所示,则m的值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为y=(mZ)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m0,即0m4.又因为函数的图象关于y轴对称,且mZ,所以m2-4m为偶数,因此m=2.4.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的取值范围为()A.(-,-5B.(-,5C.-5,+)D.5,+)【解析】选C.因为y=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-,所以a-5.【变式备选】已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)内单调递减,则a的取值范围是()A.a3B.a3C.a0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c0,所以ab0,知A,C错误,D符合要求.由B知f(0)=c0,所以ab0,所以x=-0且a1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是()【解析】选A.若0a1,则y=logax单调递增,y=(a-1)x2-x开口向上,其图象的对称轴在y轴右侧,排除B.7.若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为,则m的取值范围是()A.0,4B.C.D.【解析】选D.二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,如图所示:由图得m.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018兰州模拟)已知函数f(x)=,且f(2x-1)f(3x),则x的取值范围是_.【解析】f(x)=在0,+)上是增函数,f(2x-1)f(3x),则02x-13x,所以x.答案:x9.(2018宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为_.【解析】依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,又其图象过点(0,1),所以4a-1=1,所以a=,所以f(x)=(x-2)2-1.答案:f(x)=(x-2)2-110.若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间0,1内有最大值-5,则a=_.【解题指南】已知的二次函数对称轴随参数a的变化而变化,根据对称轴在已知区间的左侧、内部、右侧,利用函数的单调性和最值点分类求解.【解析】对称轴x=.当0,即a0时,f(x)在0,1上是减函数,则f(x)max =f(0)=-4a-a2=-5,解得a=1或a=-5,而a1,即a2时,f(x)在0,1上是增函数,则f(x)max =f(1)=-4-a2=-5,得a=1或a=-1,而a2,即a不存在;当01,即0a2时,则f(x)max =f=-4a=-5,a=,满足0a2.综上所述a=-5或.答案:-5或1.(5分)(2018黄冈模拟)已知幂函数f(x)=x的部分对应值如表,则不等式f(|x|)2的解集是()x1f(x)1A.x|-4x4B.x|0x4C.x|-xD.x|00),已知f(m)0D.f(m+1)0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0,得-1m0,所以f(m+1)f(0)0.3.(5分)(2018湛江模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在a,b上是“关联函数”,区间a,b称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在0,3上是“关联函数”,则m的取值范围为_.【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在0,3上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x0,3)的图象如图所示,结合图象可知,当x2,3时,y=x2-5x+4,故当m时,函数y=m与y=x2-5x+4(x0,3)的图象有两个交点.答案:4.(12分)已知幂函数f(x)=(mN*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.(2)若该函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】(1)因为m2+m=m(m+1)(mN*),而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数,所以函数f(x)=(mN*)的定义域为0,+),并且该函数在0,+)上为增函数.(2)因为函数f(x)的图象经过点(2,),所以=,即=,所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.又因为mN*,所以m=1,f(x)=.又因为f(2-a)f(a-1),所以解得1af(a-1)的实数a的取值范围为.5.(13分)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】 (1)由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x.所以所以因此,所求解析式为f(x)=x2-x+1.(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,要使此不等式在区间-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在区间-1,1上的最小值大于0即可.因为g(x)=x2-3x+1-m在区间-1,1上单调递减,所以g(x)min =g(1)=-m-1,由-m-10,得m-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).【变式备选】已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0),若f(x)在区间2,3上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值.(2)若b0时,f(x)在2,3上为增函数,故当a0时,f(x)在2,3上为减函数,故(2)因为b1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2.g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,因为g(x)在2,4上单调,所以2或4.所以m2或m6.
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