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第1课时椭圆的简单性质学习目标1.掌握椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的简单性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)对称性关于x轴，y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b离心率e(0,1)知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在RtBF2O中，cosBF2O，记e，则0eb0)的长轴长等于a.()题型一椭圆的简单性质例1设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标考点椭圆的简单性质题点通过所给条件研究椭圆的简单性质解椭圆方程化为标准形式为1，且e.(1)当0m4时，由e，解得m，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)反思感悟解决椭圆的简单性质问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义求椭圆的基本量跟踪训练1(1)椭圆x21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C2D4考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的简单特征求参数答案A解析椭圆x21的焦点在x轴上，a21，b2m，则a1，b，又长轴长是短轴长的两倍，24，即m.(2)对椭圆C1：1(ab0)和椭圆C2：1(ab0)的简单性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同考点椭圆的简单性质题点通过所给条件研究椭圆的简单性质答案D解析椭圆C1：1(ab0)的范围是axa，byb，顶点坐标是(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)，焦点坐标是(c,0)，(c,0)，离心率e；椭圆C2：1(ab0)的范围是aya，bxb，顶点坐标是(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)，焦点坐标是(0，c)，(0，c)，离心率e，只有离心率相同题型二利用简单性质求椭圆的标准方程例2(1)椭圆过点(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程解(1)所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3.e，ca3，b2a2c232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.(2)依题意，设椭圆的方程为1(ab0)，由椭圆的对称性，知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc.|FA|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思感悟解决利用简单性质求椭圆的标准方程问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练2如图，OFB，ABF的面积为2，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为_考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案1解析设所求椭圆方程为1(ab0)，由题意知，|OF|c，|OB|b，|BF|a.OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，解得b22，则a2b2.所求椭圆的方程为1.题型三求椭圆的离心率命题角度1利用焦点三角形性质求椭圆的离心率例3椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.方法二在焦点NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，由离心率公式和正弦定理，得e1.反思感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e求解跟踪训练3设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案C解析如图，设直线x交x轴于D点，因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有|F1F2|F2P|.因为PF1F230，所以PF2D60，DPF230，所以|DF2|F2P|F1F2|，即c2c，即2c，即，所以椭圆的离心率为e.命题角度2利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例4(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率为_考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析直线AB：xc，代入1，得y，设A，B.，直线BF1：y0(xc)，令x0，则y，D，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是_考点椭圆简单性质的应用题点求离心率的取值范围答案解析椭圆1(ab0)，byb.由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0e1，所以e的取值范围是.反思感悟若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围跟踪训练4设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则椭圆C的离心率的取值范围是_考点椭圆简单性质的应用题点求离心率的取值范围答案解析由题意知，e，eb0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2ad1d22R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|PF2|2R2a2Rd1d2.素养评析将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系利用椭圆的简单性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1椭圆25x29y21的范围为()A|x|5，|y|3B|x|，|y|C|x|3，|y|5D|x|，|y|考点椭圆的简单性质题点椭圆范围的简单应用答案B解析椭圆方程可化为1，所以a，b，又焦点在y轴上，所以|x|，|y|.故选B.2已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等考点椭圆的简单性质题点通过所给条件研究椭圆的简单性质答案D解析由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1或1D以上都不对考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案C解析由2a2b18,2c6，c2a2b2，得a5，b4，椭圆方程为1或1.4.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)5已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为_考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2，所以a5，c4，故e.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3与椭圆1有相同焦点的椭圆可设为1.4求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.一、选择题1焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案A解析依题意得c2，ab10，又a2b2c2，从而解得a6，b4.所以所求椭圆的方程为1.2椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是()A.y22Bx21C.y21或x21D4x2y21考点椭圆的性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案C解析由题意知2b2，且a2b25，得a2且b1，由于椭圆焦点所在的位置不定，所以椭圆的标准方程为y21或x21.3中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是()A.y21B.y21或x21Cx24y21Dx24y24或4x2y216答案D解析若焦点在x轴上，则a2.又e，c.b2a2c21，方程为y21，即x24y24.若焦点在y轴上，则b2.又e，1，a24b216，方程为1，即4x2y216.4直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.考点椭圆的性质的应用题点求椭圆的离心率的值答案B解析如图，|OF1|c，|OB|b，则|BF1|a，设原点到l的距离为d，则adbc，d，又d2b，则b，e.5已知焦点在y轴上的椭圆y21，其离心率为，则实数m的值是()A4B.C4或D.考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案B解析焦点在y轴上，a21，b2m，e，m.6已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1B.y21C.1D.1考点椭圆的性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程答案A解析由e得.AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a.代入得c1，b2a2c22，C的方程为1.7从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.考点椭圆性质的应用题点求椭圆的离心率答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，则kOP，kAB，OPAB，即y0.把P代入椭圆方程，得1，2，e.8已知椭圆1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个B4个C6个D8个考点椭圆简单性质的应用题点椭圆对称性的应用答案C解析当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P共有6个故选C.二、填空题9已知长方形ABCD，|AB|4，|BC|3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为_考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案解析如图，|AB|2c4，点C在椭圆上，|CB|CA|2a358，e.10已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围是_考点椭圆性质的应用题点由椭圆的几何特征求参数答案(2,4解析e，0，得1a2，2b0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若BAOBFO90，则椭圆的离心率是_考点椭圆性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析BAOBFO90，BAOFBO，tanBAOtanFBO，即，得b2ac，a2c2ac，即e2e10，0eb0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若0，椭圆的离心率等于，AOF2的面积为2，求椭圆的方程考点椭圆性质的应用题点椭圆性质的综合应用解如图，0，AF2F1F2.椭圆的离心率e，b2a2.设A(x，y)(x0，y0)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)代入椭圆方程得1，y.AOF2的面积为2，SAOF2cy2.即c2.，b28，a22b216，椭圆方程为1.14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.考点椭圆简单性质的应用题点求离心率的取值范围答案C解析B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则(a，b)，(c，b)，当向量的夹角为钝角时，0，acb20，不等式两边同除以a2，得1ee20，即e2e10，解得e，又0e1，0eb0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(如图)(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程考点椭圆简单性质的应用题点由椭圆的几何特征求方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题意知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，即b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆方程为1.
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