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习题课指数函数、对数函数及其性质的应用课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)=13x在-1,0上的最大值是()A.-1B.0C.1D.3解析函数f(x)=13x在区间-1,0上是减函数,则最大值是f(-1)=13-1=3.答案D2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是()A.(-,+)B.1,+)C.(-,1D.0,+)解析因为y=eu为增函数,u=|x-1|在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,所以由复合函数“同增异减”法则可知函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(-,1.故选C.答案C3.函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)解析令t=x2-40,可得x2或x-2.故函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),当x(-,-2)时,t随x的增大而减小,y=log12t随t的减小而增大,所以y=log12(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-,-2)上单调递增.故选D.答案D4.已知函数f(x)=ax,x0,(a-3)x+4a,x0满足对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x20成立,则a的取值范围是()A.0,14B.(0,1)C.14,1D.(0,3)解析由于函数f(x)=ax,x0,(a-3)x+4a,x0满足对任意的x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x20成立,所以该函数为R上的减函数,所以0a1,a-30,4aa0,解得00,则t=2-ax在区间0,1上是减函数.因为y=loga(2-ax)在区间0,1上是减函数,所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin0.因此a1,tmin=2-a0,故1a2.答案B6.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间0,+)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)0的解集是.解析由题意可知,f(log4x)0-12log4x124-12x41212x0,且a1),g(x)=loga(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则有x+10,4-2x0,解得-1x0,得f(x)g(x),即loga(x+1)loga(4-2x).当a1时,可得x+14-2x,解得x1.由(1)知-1x2,所以1x2;当0a1时,可得x+14-2x,解得x1,由(1)知-1x2,所以-1x1时,x的取值范围是(1,2);当0a1时,x的取值范围是(-1,1).9.已知定义域为R的函数f(x)=1-2x2x+1+a是奇函数.(1)求a的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.解(1)由f(x)是R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)1-2x2x+1+a=-1-2-x2-x+1+a对于任意实数x恒成立,解得a=2,此时f(x)=12x+1-12.(2)我们先证明f(x)=12x+1-12的单调性:任取x1,x2R,且x10.可见f(x)在R上单调递减.由此结合奇偶性,我们有f(t2-2t)+f(2t2-k)0,即f(t2-2t)k-2t2,即3t-132-13-k0.要使上述不等式对tR恒成立,则需-13-k0,即k-13.故k的取值范围为-,-13.能力提升1.函数y=xln |x|的大致图象是()解析函数f(x)=xln |x|的定义域(-,0)(0,+)关于原点对称,且f(-x)=-xln |-x|=-xln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0x1时,f(x)0,排除选项A,C.故选D.答案D2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a4B.a2C.-40,解得-4a4,故选C.答案C3.已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x1时,f(x)=5x,则f23,f32,f13的大小关系是()A.f13f23f32B.f32f13f23C.f32f23f13D.f23f321213,f23f12f13,即f23f320,且a1),当x2时恒有|y|1,则a的取值范围是.解析当a1时,y=logax在区间(2,+)上是增函数,由loga21,得1a2;当0a1时,y=logax在区间(2,+)上是减函数,且loga2-1,得12a1.故a的取值范围是12,1(1,2.答案12,1(1,25.若函数y=12x-1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是.解析将函数y=12x的图象向右平移1个单位长度得到函数y=12x-1的图象(如图所示),当m0,a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式abx2m+1在x(-,1时恒成立,求实数m的取值范围.解(1)由题意得ab=6,ba3=24,解得a=2,b=3,f(x)=32x.(2)设g(x)=abx=23x,则y=g(x)在R上为减函数,当x1时g(x)min=g(1)=23.abx2m+1在x(-,1上恒成立,g(x)min2m+1,即2m+123,m-16.故实数m的取值范围为-,-16.7.已知函数f(x-1)=lgx2-x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)lg(3x+1).解(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知x2-x0,即0x2,则-1t1.所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.故f(x)=lgx+11-x(-1x0.由3x+10,得x-13.因为-1x0.由x+11-x3x+1,得x+1(3x+1)(1-x),即3x2-x0,x(3x-1)0,解得x13或x0.又x-13,-1x1,所以-13x0或13x0在R上恒成立.当a=1时,2x+10在R上不能恒成立,故舍去;当a=-1时,10恒成立;当a2-10,即a1时,则a2-10,=(a+1)2-4(a2-1)1或a53或a53或a0,=(a+1)2-4(a2-1)0,即a1或a-1,-1a53,1a53.综上可知,实数a的取值范围是1,53.
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