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第三章 推理与证明章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.理解演绎推理.4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明1归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断3综合法和分析法(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法4反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等.类型一合情推理例1(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n(n1)解析第一个等式中1，2；第二个等式中，2，3；第三个等式中，3，4.由此可推得第n个等式等于n(n1)(2)根据图(1)的面积关系：，可猜想图(2)有体积关系：_.考点类此推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案解析题干两图中，与PAB，PAB相对应的是三棱锥PABC，PABC；与PAB两边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.与PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误跟踪训练1(1)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案8解析第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90，因此弧长为；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90，因此弧长为；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90，因此弧长为，第n道弧所在圆的半径为n，圆心角为90，因此弧长为.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以为首项，为公差的等差数列，故所求这n道弧的弧长之和为n.(2)设P是ABC内一点，ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有1，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案1解析易知，故1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知(0，)，求证：2sin 2.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明分析法要证2sin2成立，只需证4sincos，(0，)，sin 0，只需证4cos，1cos0，4cos(1cos)1，可变形为4cos24cos10，只需证(2cos1)20，显然成立综合法4(1cos)4，当且仅当cos，即时取等号，4cos.(0，)，sin 0，4sin cos，2sin 2.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2设a，b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，所以ab0，所以(ab)20显然成立即a3b3a2bab2.类型三反证法例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故2与2中至少有一个成立反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，b0，则有()A.2baB.2baC.2baD.2ba考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析因为(2ba)0，所以2ba.4用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实数C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案A解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.5已知非零向量a，b，满足ab，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明因为ab，所以ab0，要证明，只需证明|a|b|ab|，平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)，只需证明|a|2|b|22|a|b|0成立即只需证明(|a|b|)20，它显然成立故原不等式得证1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.一、选择题1如图所示的是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案A解析从所给三个图形中，可以看出，三个黑色三角形在进行顺时针旋转，每次旋转都是隔一格，故选A.2若ab0，则下列不等式中成立的是()A.bCbaD.0)考点合情推理的综合应用题点合情推理在函数中的应用答案C解析由定义可知：“”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的8已知abc0，则abbcca的值()A大于0B小于0C不小于0D不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案D解析因为(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又因为a2b2c20，所以2(abbcca)0，即abbcca0.二、填空题9如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，1)处标2，点(0，1)处标3，点(1，1)处标4，点(1，0)处标5，点(1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为20172的格点的坐标为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案(1009,1008)解析观察已知得点(1,0)处标1，即12，点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，由此推断点(n1，n)处标(2n1)2.当2n12017时，n1008，标签为20172的格点的坐标为(1009,1008)10已知2，3，4，6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则ab_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案41解析由题意归纳推理得6，b62135，a6.ab63541.11已知等差数列an的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为_考点题点答案S456解析显然S1是正确的假设后三个数均未算错，则a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为56.12我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截的线段的比值为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍，可以从给出的简单图形(如图所示)中体会这个原理现在图中的曲线分别是1与x2y2a2(a0，b0)，运用上面的原理，则该图中椭圆的面积为_考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案ab解析设直线的方程为xm(am0，则lg；(2)622.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明(1)当a，b0时，有，lglg，lglg(ab).(2)要证22，只需证()2(22)2，即22，这是显然成立的，原不等式成立四、探究与拓展14某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛考点题点答案B解析进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号若a63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61a63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意综上可知，5号学生进入30秒跳绳决赛15已知(0，)，试用多种方法求证：2sin 2.证明方法一(分析法)要证明2sin 2成立，只要证明4sin cos.(0，)，sin 0，只要证明4cos.上式可变形为44(1cos)(0，)，1cos0，4(1cos)24，当且仅当4(1cos)，即cos，时取等号44(1cos)成立，不等式2sin 2成立方法二(综合法)(0，)，1cos0.4(1cos)24，当且仅当4(1cos)，即cos，时取等号4cos.(0，)，sin 0.4sincos，2sin2.
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