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第3讲圆锥曲线的综合问题考情考向分析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例1(2018浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为的椭圆C：1(ab0)过点P，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，其中M为A关于y轴的对称点，N(0，)，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)分别记PAO，PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共线时，求S1S2的最大值解(1)，a2b2c2，a2b.把点P代入椭圆方程可得1，解得a2，b1，椭圆方程为y21.(2)设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，则M为(x1，y1)，设直线l的方程为ykxb，联立椭圆方程可得(4k21)x28kbx4b240，x1x2，x1x2，0，M，N，B三点共线，kMNkBN，即0，化简得8k(1b)0，解得b或k0(舍去)设A，B两点到直线OP的距离分别为d1，d2.直线OP的方程为x2y0，|OP|，S1S2|(x12y1)(x22y2)|，化简可得S1S2|(2k)2x1x2(2k)(x1x2)2|.又，当k时，S1S2的最大值为.思维升华解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练1(2018绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：ykx4(1k，得421740，解得4或.因为01，所以0，由7，得2710，解得，因此0，解得k0或0k0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点(1)解由题意可设直线AB的方程为yx，由消去y整理得x23px0，9p248p20，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，由抛物线的定义得|AB|x1x2p4p8，p2.抛物线的方程为y24x.(2)证明设直线l1，l2的倾斜角分别为，由题意知，.直线l1的斜率为k，则ktan .直线l1与l2的倾斜角互余，tan tan，直线l2的斜率为.直线CD的方程为y8k(x12)，即yk(x12)8.由消去x整理得ky24y3248k0，设C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD，xCxD24，点M的坐标为.以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(122k28k,2k)，kMN.直线MN的方程为y2kx(122k28k)，即yx10，显然当x10时，y0，故直线MN经过定点.热点三探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例3已知椭圆C：1(ab0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x3y120的距离为3，椭圆C的离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由已知椭圆C的方程为1(ab0)，设椭圆的焦点F1(0，c)，由F1到直线4x3y120的距离为3，得3，又椭圆C的离心率e，所以，又a2b2c2，求得a24，b23.椭圆C的方程为1.(2)存在理由如下：由(1)得椭圆E：1，设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)12256k2480.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在点P(0，t)满足条件，由于，所以PM平分APB.所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.即0，即x2(y1t)x1(y2t)0.(*)将y1kx11，y2kx21代入(*)式，整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k0，整理得3kk(1t)0，即k(4t)0，因为k0，所以t4.所以存在点P(0,4)，使得.思维升华解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练3已知椭圆C：1(ab0)经过点M(2，)，且离心率为.(1)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：xm(m为常数)分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？解(1)由题知，1，a2b2c2，解得a2，b2，椭圆C的方程为1.(2)由(1)知，A(2，0)，B(2，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA，PB的方程分别为yk1(x2)，yk2(x2)，M(m，k1(m2)，N(m，k2(m2)，根据射影定理知，以MN为直径的圆的方程为(xm)2yk1(m2)yk2(m2)0，即(xm)2y2k1(m2)k2(m2)yk1k2(m28)0，设点P(x0，y0)，则1，y4，k1k2，(xm)2y2k1(m2)k2(m2)y(m28)0，由y0，得(xm)2(m28)0，(xm)2(m28)当m280，即2m0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号2(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(1x00)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由押题依据本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色解(1)因为C1，C2的焦点重合，所以，所以a24.又a0，所以a2.于是椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y24x.(2)假设存在直线l使得2，当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，则x1x4，x1x41，且16k2160，所以|PN|.由可得(34k2)x28k2x4k2120，则x2x3，x2x3，且144k21440，所以|MQ|.若2，则2，解得k.故存在斜率为k的直线l，使得2.A组专题通关1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解(1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1，又因为e，所以a，所以b22，所以椭圆的标准方程为1.(2)当直线BD的斜率k存在且k0时，直线BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得x26k2x3k260.36k44(3k22)(3k26)48(k21)0恒成立设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|BD|x1x2|.由题意知AC的斜率为，所以|AC|.|AC|BD|4.当且仅当3k222k23，即k1时，上式取等号，故|AC|BD|的最小值为.当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|BD|.综上，|AC|BD|的最小值为.2(2018诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21.(1)求抛物线C的方程；(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G.求点D的纵坐标；求的取值范围解(1)设AB：ykx，联立得x22p，即x22pkxp20，x1x2p21，p1，抛物线C的方程为x22y.(2)直线OA的方程为yxx，D，即D，点D的纵坐标为.kDF，kAEx2，即直线AE的方程为yy1x2(xx1)，联立得x2xy110，xE2x2x1，G(x2,2y2y11)G，B，D三点共线，y1y2，222(1,2)，.3(2018全国)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k，得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)解由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)椭圆C的上顶点为D，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)|DF2|3|F2E|，可得3，又，代入1，可得1，又a2b21，解得a22，b21，即椭圆C的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，H，M，N.由题意可设直线AB的方程为xmy1，联立消去x，得y22my10，4m24(m22)0恒成立根据H，A，M三点共线，可得，yM.同理可得yN，M，N的坐标分别为，k1k2yMyN.k1与k2之积为定值，且该定值是.6已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.设直线l与圆x2y21交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M是曲线：Ax2By21上的动点，是否存在与直线l：mxny1恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由解(1)设P(x，y)，由题意，得.整理，得y21，曲线E的方程为y21.(2)圆心到直线l的距离d，直线与圆有两个不同交点C，D，|CD|24.又n21(m0)，|CD|24.|m|2，0m24，01.|CD|2，|CD|，即|CD|的取值范围为.当m0，n1时，直线l的方程为y1；当m2，n0时，直线l的方程为x.根据椭圆对称性，猜想E的方程为4x2y21.下面证明：直线mxny1与4x2y21相切，其中n21，即m24n24.由消去y得x22mx1n20，即4x22mx1n20，4m21640恒成立，从而直线mxny1与椭圆E：4x2y21恒相切若点M是曲线：Ax2By21上的动点，则直线l：mxny1与定曲线：1恒相切
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