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31全称量词与全称命题 32存在量词与特称命题学习目标1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法知识点一全称量词与全称命题全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”全称命题p含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意xM，p(x)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在xM，p(x)不成立”知识点二存在量词与特称命题存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为存在xM，p(x)判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题思考下列语句是命题吗？如果是命题，是不是特称命题？(1)x能被2和5整除；(2)至少有一个x0Z，x0能被2和5整除答案(1)不是命题；(2)是命题是特称命题，因为有存在量词“至少有一个”1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()3全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词()题型一全称命题与特称命题的辨析例1判断下列语句是全称命题，还是特称命题(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有sin2cos21；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直考点全称命题与特称命题的识别题点全称命题与特称命题的识别解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题反思感悟判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断跟踪训练1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题(1)对任意xR，x20；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x1，使方程x2x20；(5)对任意xx|x1,3x40成立；(6)存在a1且b2，使ab3成立考点全称命题与特称命题的识别题点全称命题与特称命题的识别解(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”题型二全称命题与特称命题的真假判断例2判断下列命题的真假(1)存在，cos()coscos；(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x，使等式x2x80成立考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断解(1)真命题，例如，符合题意(2)真命题，函数f(x)0既是偶函数又是奇函数(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数(4)假命题，因为该方程的判别式310，若对任意xR，p(x)是真命题，求实数a的取值范围考点全称命题与特称命题的应用题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解(1)关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a，实数a的取值范围为.(2)对任意xR，p(x)是真命题对任意xR，ax22x10恒成立，当a0时，不等式为2x10不恒成立，当a0时，若不等式恒成立，则a1.即a的取值范围是(1，)反思感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sinxcosxm恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinxcosxm有解，求实数m的取值范围考点全称命题与特称命题的应用题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解(1)令ysinxcosx，xR，ysinxcosxsin，又任意xR，sinxcosxm恒成立，只要mm有解，只要m0)，任意x11，2，存在x01,2，使f(x1)g(x0)，则a的取值范围是()A.B.C3，) D(0,3)考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案C解析由于函数f(x)在定义域1,2内是任意取值的，且必存在x01,2，使得f(x1)g(x0)，因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集函数f(x)的值域是1,3，函数g(x)的值域是2a，22a，则有即a3.素养评析(1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.1下列命题中特称命题的个数是()有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被6整除的数也能被3整除；对于任意xR，总有|sinx|1.A0B1C2D3考点识别特称命题题点识别特称命题答案B解析命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题是全称命题故有一个特称命题2给出下列命题：存在实数x1，使x21；全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数a，使ax2ax10的根为负数其中特称命题的个数为()A1B2C3D4考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案C解析由存在量词及特称命题的定义知为特称命题3下列含有量词的命题为真命题的是()A所有四边形都有外接圆B有的等比数列的项为零C存在实数没有偶次方根D任何实数的平方都大于零考点全称命题与特称题点命题的真假判断答案C解析C选项中存在负数没有偶次方根正确4对任意的x，tanxm是真命题，求实数m的最小值考点全称量词与全称命题的真假判断题点恒成立问题求参数的范围解对任意的x，(tanx)max1，m1，则m的最小值为1.5命题3mx2mx10恒成立是真命题，求实数m的取值范围考点全称量词及全称命题的真假判断题点恒成立求参数的范围解“3mx2mx10恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论当m0时，10恒成立，所以m0满足题意；当m0，且m212m0，即0m0恒成立，所以0m12满足题意当m0时，明显不符合综上所述，实数m的取值范围是0m12.1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.一、选择题1下列命题中，是正确的全称命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b20且a1)，当a1时，ylogax在(0，)上是增加的，当0a1时，ylogax在(0，)上是减少的，所以，对数函数在定义域上都是单调函数2下列命题为真命题的是()A对任意xR，都有cosx2成立B存在xZ，使log2(3x1)0，都有3x3成立D存在xQ，使方程x20有解考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案A解析A中，由于函数ycosx的最大值是1，又12，所以A是真命题；B中，log2(3x1)0，即03x11，得x0恒成立4给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2整除；有的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数x,2x1是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B是全称命题C是特称命题D四个命题中有两个假命题考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案C解析为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题5下列命题中的假命题是()A有些不相似的三角形面积相等B存在一个实数x，使x2x10C存在实数a，使函数yaxb的值随x的增大而增大D有一个实数的倒数是它本身考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案B解析以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意xR，都有x2x120.故B为假命题6下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A存在一个角，使得tan(90)tanB存在实数x，使得sinxC对一切，sin(180)sinDsin()sincoscossin考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案A解析45时，tan(9045)tan45，A为真命题，且为特称命题，故选A.B中对任意xR，有sinx10.A1B2C3D4考点全称量词及全称命题的真假判断题点全称命题的真假判断答案C解析为真命题8若存在xR，使ax22xa0，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1C1a1D1a1考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案A解析当a0时，显然存在xR，使ax22xa0时，由44a20，解得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是a0恒成立；存在xQ，x22；存在xR，x210；任意xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为_考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案0解析对于方程x23x20，(3)2420，当x2或x0才成立，为假命题当且仅当x时，x22，不存在xQ，使得x22，为假命题对任意xR，x210，为假命题4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即当x1时，4x22x13x2成立，为假命题均为假命题11若对任意x3，xa恒成立，则实数a的取值范围是_考点全称量词及全称命题的真假判断题点恒成立求参数的范围答案(，3解析对任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.12已知函数f(x)x2mx1，若命题“存在x0，f(x)0”为真，则m的取值范围是_考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案(，2)解析由条件知m0；(3)对所有的实数a，b，方程axb0都有唯一解；(4)存在实数x，使得2.考点题点解(1)是全称命题，是真命题(2)是特称命题，是真命题(3)是全称命题，是假命题(4)是特称命题，是假命题14若命题“存在a1,3，使ax2(a2)x20”是真命题，求实数x的取值范围考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围解令f(a)ax2(a2)x2(x2x)a2x2，是关于a的一次函数，由题意，得(x2x)2x20或(x2x)32x20，即x2x20或3x2x20，解得x.15已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围考点全称命题与特称命题题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解方法一(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时需m4.(2)不等式mf(x)0，可化为mf(x)，若至少存在一个实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，所以m4.所以所求实数m的取值范围是(4，)方法二(1)要使不等式mf(x)0对任意xR恒成立，即x22x5m0对任意xR恒成立所以(2)24(5m)4，所以当m4时，mf(x)0对于任意xR恒成立(2)若至少存在一个实数x，使mf(x)0成立，即x22x5m0即可，解得m4.所以实数m的取值范围是(4，)
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