资源描述
第1课时均值不等式学习目标1.理解均值不等式的内容及证明2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值知识点二均值不等式常见推论1均值定理如果a，bR，那么当且仅当ab时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值2常见推论(1)ab2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR)1对于任意a，bR，a2b22ab()2nN时，n2()3x0时，x2()4a0，b0时，()题型一常见推论的证明例1证明不等式a2b22ab(a，bR)证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab引申探究1求证(a0，b0)证明方法一()2()22()20，当且仅当，即ab时，等号成立方法二由例1知，a2b22ab当a0，b0时有()2()22，即ab2，2证明不等式2(a，bR)证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得2，当且仅当ab时，取等号反思感悟(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识(2)不等式a2b22ab和均值不等式成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数跟踪训练1当a0，b0时，求证：.证明a0，b0，ab20，又，(当且仅当ab时取等号)题型二用均值不等式证明不等式例2已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320，(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20，(ab)(bc)(ca)2228abc，即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立题型三用均值不等式比较大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则()AxBxCxDx答案B解析第二年产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x(当且仅当ab时，等号成立)反思感悟均值不等式一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练3设ab1，P，Q，Rlg，则P，Q，R的大小关系是()ARPQBPQRCQPRDPR0，lglg(lgalgb)，即RQ综合，有PQR演绎：从一般到特殊典例(1)当x0，a0时，证明x2；(2)当x1时，证明9.证明(1)x0，a0，0由均值不等式可知，x22当且仅当x时，等号成立(2)(x1)5x1，x10(x1)24，(x1)59，即9当且仅当x1时，等号成立素养评析逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式在本例中，“一般”指均值不等式当我们对a，b赋予特殊值如令ax，b，就有x2；再令中的xx1，a4，就有x12均值不等式的应用关键就是给a，b赋予什么样的值1若0abBbaCbaDba答案C解析0aab，bba0，aba2，a故ba2下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()Alg(x21)lg(2x) Bx212xC1Dx2答案C解析对于A，当x0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x1时，x212x，故B不成立；对于D，当xB2，故4lg9lg11与1的大小关系是()Alg9lg111Blg9lg111Clg9lg110，lg 110，lg 9lg 1122221，即lg 9lg 110，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a其中恒成立的是_(填序号)答案解析由于a21a20，故恒成立；由于a2，b2，4，当且仅当ab1时，等号成立，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，当且仅当ab时，等号成立，故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立综上，恒成立的是1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式一、选择题1a，bR，则a2b2与2|ab|的大小关系是()Aa2b22|ab|Ba2b22|ab|Ca2b22|ab|Da2b22|ab|答案A解析a2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立)2若a，bR且ab0，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0，22，当且仅当ab时，等号成立3对于a0，b0，下列不等式中不正确的是()ABabCab2D2答案A解析当a0，b0时，因为，所以，当且仅当ab时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确4设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpBprpDprq答案B解析因为0a又因为f(x)ln x在(0，)上单调递增，所以ff()，即pq而r(f(a)f(b)(ln aln b)ln(ab)ln，所以rp，故pr答案D解析ab22，当且仅当ab时，等号成立，A成立；(ab)224，当且仅当ab时，等号成立，B成立；a2b22ab0，2，当且仅当ab时，等号成立，C成立；ab2，且a，b(0，)，1，当且仅当ab时，等号成立，D不成立6下列说法正确的是()A若xk，kZ，则min4B若a0，b0，则lgalgb2D若a0，b0，则2答案D解析对于A，xk，kZ，则sin2x(0,1令tsin2x，则yt，函数y在(0,1上单调递减，所以y5，即sin2x5，当sin2x1时，等号成立对于B，若a0，0a4，当且仅当a，即a2时，等号成立对于C，若a(0，1)，b(0，1)，则lga0，lgb0，不等式不成立对于D，a0，b0，0，22，当且仅当，即ab时，等号成立二、填空题7设正数a，使a2a20成立，若t0，则logat_loga.(填“”“”“”或“”)答案解析a2a20，a1或a2(舍)，ylogax是增函数，又，logalogalogat8设a，b为非零实数，给出不等式：ab；2；2其中恒成立的不等式是_答案解析由重要不等式a2b22ab，可知正确；2，可知正确；当ab1时，不等式的左边为1，右边为，可知不正确；当a1，b1时，可知不正确9已知abc，则与的大小关系是_答案解析因为abc，所以ab0，bc0，所以，当且仅当abbc时，等号成立10设a1，mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系是_(用“”连接)答案mpn解析a1，a212aa1，loga(a21)loga(2a)loga(a1)，故mpn三、解答题11设a，b，c都是正数，求证：abc证明a，b，c都是正数，也都是正数，2c，2a，2b，三式相加得22(abc)，即abc，当且仅当abc时，等号成立12已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时，等号成立)(2)方法一a0，b0，ab1，112，同理，12，52549，9(当且仅当ab时，等号成立)方法二1由(1)知，8，故19，当且仅当ab时，等号成立13设0a12答案C解析0a1b，logab0，logba0，logba0，(logab)(logba)(logab)2，当且仅当ab1时，等号成立，logablogba214设x，y为正实数，且xy(xy)1，则()Axy2(1) Bxy1Cxy(1)2Dxy2(1)答案A解析x，y为正实数，且xy(xy)1，xy2，2(xy)10，解得xy2(1)，当且仅当xy1时取等号
展开阅读全文