2020版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（第2课时）角度问题及其他学案（含解析）新人教B版必修5.docx

第2课时角度问题及其他学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.了解解三角形在物理中的应用知识点一实际应用问题中的有关术语1方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角2方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角3坡角坡面与水平面的夹角4坡比坡面的垂直高度与水平距离之比知识点二解三角形在物理中的应用数学在物理学中的应用非常广泛，某种角度上说，物理题实际上是数学应用题，解物理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案1方位角和方向角是一样的()2南偏东30指正南为始边，在水平面内向东旋转30.()3方位角可以是270.()题型一角度的测量问题例1如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1，距离精确到0.01 n mile)解在ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，AC113.15.根据正弦定理，sinCAB0.325 5，所以CAB19.0，75CAB56.0.所以此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat(海里)，ACat(海里)，B9030120，由，得sinCAB，0CAB90，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇题型二解三角形在物理中的应用例2如图所示，对某物体施加一个大小为10N的力F，这个力被分解到OA，OB两个方向上，已知AOB120，力F与OA的夹角为45，求分力的大小解如图，作F，F1，F2，作OGFC，由题设知|10，FOG45，AOB120，则FOCAOBFOG1204575，由OGFC知，GFOFOC75，在FOG中，FGO180754560，由正弦定理得，即，解得OG5，由正弦定理得，即，解得FG.所以OA方向的力的大小为5N，OB方向的力的大小为N. 反思感悟解决物理等实际问题的步骤(1)把实际问题受力平衡用图示表示(2)转化为数学问题，通过正、余弦定理解三角形(3)把数学问题的解转化为实际问题的解跟踪训练2有一两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为m/s，为使所走路程最短，小船行驶的方向应为()A与水速成45B与水速成135C垂直于对岸D不能确定答案B解析如图，设为水速，为船在静水中的速度，为.依题意，当时，所走路程最短，现需求BAD，只要求CAD即可，在RtCAD中，|1，|，sinCAD，且CAD为锐角CAD45，BAD4590135.即小船应朝与水速成135的方向行驶1已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10答案B解析如图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.2.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30方向走当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC等于()A2kmB2kmC.kmD1km答案D解析依题意知BC2AB2AC22ABACcosBAC，即322AC222ACcos 60，AC22AC10.解得AC1 km.3甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A6kmB3kmC3kmD3km答案C解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)4一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10nmileB10nmileC20nmileD20nmile答案A解析如图所示，由已知条件可得CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45，由正弦定理可得.BC10 (n mile)5作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|30N，|F2|50N，F1和F2之间的夹角是60，求F3的大小与方向(精确到0.1)解F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F中，由余弦定理，得|F|70(N)，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8.所以F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8.1在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.一、选择题1某船开始看见一灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A15kmB15kmC20kmD20km答案A解析设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知AOB30，OAB120，则OBA30，所以由正弦定理，得AB15，即此时船与灯塔的距离是15 km.2一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为()A2kmB6kmC2kmD8km答案B解析如图在平行四边形ABCD中，为河水流速，为船在静水中的速度，为船在河水中的实际航速由题意得AB2，AD4，BAD120，22222416224cos 12012，|2，即船实际航速为2 km/h.船实际航程为26(km)3台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为()A0.5hB1hC1.5hD2h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30km时，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化简得x240x7000.设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即P1P220(km)，故t1(h)故选B.4.当太阳光与水平面的倾斜角为60时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()A150B30C45D60答案B解析设竹竿与地面所成的角为，影子长为xm.由正弦定理，得，xsin(120)30120120，当12090，即30时，x有最大值即竹竿与地面所成的角是30时，影子最长5一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为()A30kmB30kmC30kmD20km答案B解析如图所示，在ABC中，BAC30，ACB105，则ABC45，AC60km，根据正弦定理，得BC30(km)6某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，则塔高为()A10mB10(1) mC.mD20m答案C解析如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60前进40 m到达C处，即BC40，CAB135，ABC30，ACB15.在ABC中，即，AC20.过点A作AGBC，垂足为G，此时仰角AGE最大，在ABC中，由面积公式知BCAGBCACsinACB.AGACsin ACB20sin 15，AG20sin(4530)2010(1)在RtAEG中，AEAGtanAGE，AE10(1)10，塔高为 m.二、填空题7一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x_cm.答案解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知x (cm)8.如图，小明以每分钟20米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔B在北偏东30，行走1小时后，到达C处，看到这个电视塔在北偏西15，则此时小明与电视塔的距离为_米答案3600解析由题意得BAC60，ACB75，所以B45，AC20601 200(米)，所以BC3 600(米)9.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10m，吊杆AC15m，吊索AB5m，起吊的货物与岸的距离AD为_m.答案解析在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得，cosACB，sinACB，又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15.10海上一观测站A测得南偏西60的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经_分钟海盗船B到达商船D处答案解析如图，过A作AEBD于点E，由已知可知AB10海里，BC30海里，AC20海里，cosACB，0ACB180，ACB60，AE10海里DAE60，DE1030海里CAE30，CE10海里，DC20海里，t60(分钟)三、解答题11.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A处有一灯塔，其方位角是110，在C处观察灯塔A的方位角是35，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离解在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得，AC10()(km)答C到灯塔A的距离为10() km.12某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，BC10t，ACB120.在ABC中，根据余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理，得，所以sinCAB，又因为CAB为锐角，所以CAB30，所以舰艇航行的方位角为75.13.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为()A4海里/小时B3海里/小时C2海里/小时D4海里/小时答案A解析因为cos ，045，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC2(20)210222010340，所以BC2，该货船的船速为4(海里/小时)14为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西千米有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1千米在ABC中，AB(千米)，AC1(千米)，ABC30，由正弦定理，得sinACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1千米在ACD中，ACAD1，ACD60，ACD为等边三角形，CD1千米605，在BC上需5分钟，CD上需5分钟最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格