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第二章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹或集合平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论也可将椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)，其中当时，焦点在x轴上，当时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2By21(AB0)，当0时，焦点在y轴上，当0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2y2(0)(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y22px(p0)或x22py(p0)，然后建立方程求出参数p的值3直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；1)，则右焦点F(，0)，由题设，知3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21.(2)设点P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求m的取值范围是.反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题跟踪训练3已知P为椭圆1(ab0)上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|PF2|4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(m0)与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线yx上，O为坐标原点，当OAB的面积等于时，求直线l的方程考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合应用解(1)由椭圆定义得2a4，a2，所以cae，故b，所以椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykxm代入方程1，得(12k2)x24kmx2m240.(*)所以xC，yCkxCm，所以，解得k1，则(*)式变为3x24mx2m240，则|AB|x1x2|，OAB底边AB上的高h，所以OAB的面积S.令，解得m，把k1，m代入(*)式，经检验，均满足0，此时直线l的方程为xy0或xy0.题型四圆锥曲线中参数范围和最值问题例4(1)已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_考点题点答案1(2)若抛物线x22y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()Aa0B00，即3k2m210.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，则|AP|AQ|，PQAN.设kAN表示直线AN的斜率，又k0，kANk1.即k1，得3k22m1.3k20，m.将代入得2m1m210，即m22m0，解得0m0，n0，mn)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B解析y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，mn且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆的方程为1.4点P(8,1)平分双曲线x24y24的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_答案2xy150解析设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4，x4y4，两式相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.因为线段AB的中点为P(8,1)，所以x1x216，y1y22.所以2.所以直线AB的方程为y12(x8)，代入x24y24满足0.即直线方程为2xy150.5已知双曲线y21，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，过F的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M，N，若OMN为直角三角形，则|MN|_.考点双曲线的离心率与渐近线题点以离心率或渐近线为条件下的简单问题答案3解析由题意知渐近线的斜率为，F(2,0)，FOM30，直线MN的倾斜角为60或120.由双曲线的对称性，设倾斜角为60，直线MN：y(x2)，分别与两渐近线联立可求得M(3，)，N.|MN|3.1离心率的几种求法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系2圆锥曲线中的有关最值问题在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解
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