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遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测数 学 试 题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 的值是A B C D2. 已知，则下列不等式正确的是A B C D 3. 已知等比数列中，则A4 B4 C D164. 若向量，则等于A. B. C. D5. 在中，60，则等于A45或135 B135 C45 D306. 在中，已知，那么一定是A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D正三角形7. 不等式对任何实数恒成立，则的取值范围是A. (3，0 ) B. (3，0 C. 3，0 ) D. 3，08. 莱茵德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅9. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是A. 10 B. 10 C. 10 D. 1010. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为质数的正整数的个数是A2 B3 C4 D511. 如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为A. B. C. D. 12对于数列，定义为数列的“诚信”值，已知某数列的“诚信”值,记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. D. 第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 不等式的解集为 .14. 化简 .15. 已知，并且，成等差数列，则的最小值为 .16. 已知函数的定义域为,若对于、分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”。给出下列四个函数：； ；.其中为“三角形函数”的数是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本题满分10分）已知,是互相垂直的两个单位向量，.（）求的值；（）当为何值时，与共线.18（本题满分12分）已知是等比数列，且，成等差数列.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.19（本题满分12分）已知函数.（）求的单调递增区间；（）若，求的值.20（本题满分12分）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为（单位：元）。（）求的函数关系式；（）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？21（本题满分12分）如图：在中，点在线段上，且.（）若，求的长；（）若，求DBC的面积最大值22（本题满分12分）已知数列的前项和为且 .（）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；（）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测数学试题参考答案及评分意见一、选择题（512=60）题号123456789101112答案CBADCABDBADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14.1 15.9 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）解：（1）因为,是互相垂直的单位向量，所以 ,; 2分 5分 （2） 与共线，又不共线； 8分 10分【解法二】解：设与的夹角为，则由， 是互相垂直的单位向量，不妨设,分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量，则 1分（1） 5分（2），与共线， 8分 10分18（12分）（1）设等比数列的公比为，由，成等差数列， 2分即 . 6分（2）由 8分 两式作差： 10分 12分19（12分）解:（1） 3分令， 5分所以，的单调递增区间为， . 6分（2） ， 9分 10分 . 12分20（12分）（1） 6分（2）当 8分当 当且仅当时，即时等号成立 11分答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. 12分21（12分） 1分 (1)法一、在中,设,由余弦定理可得： 2分在和中，由余弦定理可得：又因为得 4分由得 . 6分 法二、向量法：得 3分得 5分 6分（2） 7分由 （当且仅当取等号） 10分由，可得的面积最大值为. 12分22（12分）解析：（1)证明：当时， 1分当时， 2分 两式作差：得 ， 4分以1为首项，公比为2的等比数列; 5分（2）代入得 6分 由 为递增数列， 7分 9分 当时， ； 当时，；当时，； 11分存在正整数对任意，不等式恒成立，正整数的最小值为1 12分
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