2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式（二）导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.2基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a、b、cR时，当且仅当abc时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a、b、c的几何平均值.2.如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立.基础自测1.设a、b、cR，下列各不等式中成立的是()A.a2b22|ab| B.ab2C.a3b3c33abc D.解析由a2b22|ab|a|22|ab|b|2(|a|b|)20，故选A.答案A2.函数yx2(15x)的最大值为()A. B. C. D.解析由yx2(15x)xx(15x).答案A3.已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_.解析利用不等式求解.因为abc0，所以bca.因为a2b2c21，所以a21b2c2(bc)22bca22bc，所以2a212bcb2c21a2，所以3a22，所以a2，所以a，所以amax.答案知识点1利用平均值不等式证明不等式【例1】 已知a、b、cR，且abc1.求证：.证明abc1(ab)(bc)(ca)2，(ab)(bc)(ca)339.反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(abc)(a，b，cR).证明(ab)(bc)(ca)3，3，(abc).当且仅当abc时，等号成立.知识点2利用平均值不等式求最值【例2】 若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围.解方法一：a、bR，且abab33，a3b381ab.又ab0，a2b281.ab9(当且仅当ab时，取等号).ab的取值范围是9，).方法二：ab3ab2，ab230且ab0，3，即ab9(当且仅当ab时取等号)ab的取值范围是9，).反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求ysin xcos2x，x的最大值.解x，sin x0，y0.y2sin2xcos4x.故y ，此时，2sin2xcos2x，tan2x，y有最大值.知识点3平均值不等式的实际应用【例3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列an，n1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1P2P31.给出如下数据：，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是() A. B.C. D.解析设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x(x0)，则a4a1(1x)3a1(1P1)(1P2)(1P3)，(1x)3(1P1)(1P2)(1P3)，(1x)3(1P1)(1P2)(1P3).1x，即x，对比所给数据，只有满足条件，故选B.答案B3.设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为_ cm2.解析设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则abc1 000，且a0，b0，c0.它的表面积S2(abbcca)23600.当且仅当abc10 (cm)时取“”号.所以它的表面积S的最小值为600 cm2.答案600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrp B.prqC.qrp D.prq解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q，r之间的相等与不等关系.因为ba0，故0)为增函数，所以ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnp.答案B2.已知x，则f(x)有()A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值1解析f(x)，又x，x2，则f(x)21.答案D3.函数yx2(13x)在上的最大值是_.解析由yx2(13x)xx(13x).答案4.用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是_ cm2. 解析设矩形长为x cm(0x0，8x0，可得S16，当且仅当x8x即x4时，Smax16.所以矩形的最大面积是16 cm2.答案16基础达标1.若x0，则4x的最小值是()A.9 B.3C.13 D.不存在解析x0，4x2x2x33.答案B2.设a，b，c(0，)且abc1，令x，则x的取值范围为()A. B.C.1，8) D.8，)解析x8，当且仅当abc时取等号，x8.答案D3.已知x，y都为正数，且1，则xy有()A.最小值16 B.最大值16C.最小值 D.最大值解析x，y(0，)且1，12，4，xy16，当且仅当即时取等号，此时(xy)min16.答案A4.已知a，b，R*，则_.解析11132229.答案95.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元).解析利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m，则宽为m.又设该容器的造价为y元，则y204210，即y8020(x0).因为x24，所以ymin80204160(元).答案1606.已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4.(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值.解(1)由|xa|b，得baxba，则解得(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是()A.V B.VC.V D.V解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r2h6，即2rh3，于是有Vr2h，当且仅当rh时取等号.答案B8.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()A. B.C. D.解析l4r2h，即2rh，Vr2h.答案A9.定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_.解析先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立.答案10.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.解析把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值.(1)当l6.05时，F181 900.当且仅当v11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.答案(1)1 900(2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上且对角线MN过C点，已知|AB|3米，|AD|2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解设AN的长为x米(x2)，矩形AMPN的面积为y.，|AM|，S矩形AMPN|AN|AM|(x2)(1)由S矩形AMPN32得32，x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，2x8，即AN的长的取值范围是(8，).(2)令y3(x2)1221224，当且仅当3(x2)，即x4时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米.(3)令g(x)3x(x4)，设x1x24，则g(x1)g(x2)3(x1x2)，x1x24，x1x20，x1x216，g(x1)g(x2)0，g(x)在4，)上递增.y3(x2)12在6，)上递增.当x6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.12.甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例常数为b，固定部分为a元.(1)把全程运输成本y元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？解(1)因为汽车每小时的运输成本为bv2a(元)，全程时间为(小时)，故y(bv2a)，即ys，v(0，c.(2)由于bv2，当且仅当v 时取等号，故若 c，则当v 时，y取最小值.若 c，则先证ys，v(0，c为单调减函数，事实上，当v1、v2(0，c，且v1v2，则y1y2sss(v1v2)sb(v1v2)，v1、v2(0，c，v1v2，v1v20，v1 ，v2 .进而v1v20.故ys，v(0，c为单调减函数，由此知当vc时，y取得最小值.综上可知，若 c，则当v 时，y取得最小值；若 c，则当vc时，y取得最小值.