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1.3.1利用导数判断函数的单调性1理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性2通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性用函数的导数判定函数单调性的法则1如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是_，(a，b)为f(x)的单调增区间；2如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是_，(a，b)为f(x)的单调减区间(1)在(a，b)内，f(x)0(0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件(2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内f(x)0(0)，并且f(x)0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立【做一做11】已知函数f(x)1xsin x，x(0,2)，则函数f(x)()A在(0,2)上是增函数B在(0,2)上是减函数C在(0，)上是增函数，在(，2)上是减函数D在(0，)上是减函数，在(，2)上是增函数【做一做12】设f(x)是函数f(x)的导数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象最有可能是()1函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f(x)0(或f(x)0)的区间(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f(x)0(或f(x)0)2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开题型一 求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)xx3；(2)f(x)x(a0)分析：先求f(x)，然后解不等式f(x)0得单调增区间，f(x)0得单调减区间反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件题型二 根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)2ax，x(0,1，若f(x)在x(0,1上是增函数，求a的取值范围分析：函数f(x)在(0,1上是增函数，则f(x)0在(0,1上恒成立反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f(x)0(0)在xM上恒成立题型三 证明不等式【例题3】已知x1，求证：xln(1x)分析：构造函数f(x)xln(1x)，只要证明在x(1，)上，f(x)0恒成立即可反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数此法的一般解题步骤为：令F(x)f(x)g(x)，xa，其中F(a)f(a)g(a)0，从而将要证明的不等式“当xa时，f(x)g(x)”转化为证明“当xa时，F(x)F(a)”题型四 易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域【例题4】求函数f(x)2x2ln x的单调减区间错解：f(x)4x，令0，得x或0x，所以函数f(x)的单调减区间为，.1在区间(a，b)内f(x)0是f(x)在(a，b)内为增函数的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A B(，2)C D(2，3)3若f(x)ax3bx2cxd为增函数，则一定有()Ab24ac0 Bb23ac0Cb24ac0 Db23ac04如果函数f(x)x3bx(b为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b的取值范围是_5函数yx3x25的单调增区间为_，单调减区间为_答案：基础知识梳理1增函数2减函数【做一做11】Af(x)1cos x，当x(0,2)时，f(x)0恒成立，故f(x)在(0,2)上是增函数【做一做12】C由f(x)的图象知，x(，0)或x(2，)时，f(x)0，故f(x)的增区间为(，0)，(2，)，同理可得f(x)的减区间为(0,2)典型例题领悟【例题1】解：(1)f(x)13x2.令13x20，解得x.因此函数f(x)的单调增区间为.令13x20，解得x或x.因此函数f(x)的单调减区间为和.(2)由axx20得0xa，即函数的定义域为0，a又f(x)x(axx2)(a2x)，令f(x)0，得0x；令f(x)0，得x0或xa，又x0，a，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.【例题2】解：由题意，得f(x)2a.f(x)在(0,1内是增函数，f(x)0在x(0,1上恒成立即a在x(0,1上恒成立令g(x)，g(x)在(0,1内是增函数，g(x)maxg(1)1，a1，故a的取值范围是1，)【例题3】证明：设f(x)xln(1x)(x1)f(x)1，(x1)，f(x)0.f(x)在(1，)上是增函数又f(1)1ln 21ln e0，即f(1)0，f(x)0，即xln(1x)(x1)【例题4】错因分析：错解未注意函数的定义域正解：函数f(x)的定义域为(0，)，又f(x)，令0，得x或0x，又x0，f(x)的单调减区间为.随堂练习巩固1A如f(x)x3在R上是增函数，但f(0)0.2Bycos xxsin xcos xxsin x，当x(，2)时，xsin x0，故函数在(，2)上为增函数3Bf(x)3ax22bxc0恒成立，所以a0，(2b)212ac0，即b23ac0.43，)f(x)3x2b0(0x1)恒成立，b3x2(0x1)恒成立，故b3.5(0,2)(，0)，(2，)yx22x，令y0，得0x2，令y0，得x0或x2，故函数yx3x25的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(，0)，(2，)
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