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专题能力提升练 三不等式与线性规划(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(xx顺义一模)已知x,yR,且0xy1,则()A.x-1y-11B.1lg xlg yC.12x12y2D.0sin xsin y【解析】选D.因为x,yR,且0xy1y1,lg xlg y12y12,0sin xsin y.2.设不等式组x-2y0,x-y+20,x0表示的平面区域为.则()A.原点O在内B.的面积是1C.内的点到y轴的距离有最大值D.若点P(x0,y0),则x0+y00【解析】选A.不等式组x-2y0,x-y+20,x0表示的可行域如图:显然O在可行域内部.3.设x,y满足约束条件x+2y1,2x+y-1,x-y0,则z=y-2x的最小值为()A.-23B.-13C.13D.3【解析】选B.由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值,由x+2y=1,x-y=0,解得x=13,y=13,即A13,13代入z=y-2x,得z=13-213=-13,即z=y-2x的最小值为-13.4.已知实数x,y满足约束条件x-y+50,x+y0,x3,若ykx-3恒成立,则实数k的取值范围是()A.-115,0B.0,113C.(-,0115,+D.-,-1150,+)【解析】选A.由约束条件x-y+50,x+y0,x3作可行域如图,联立x=3,x+y=0,解得B(3,-3).联立x+y=0,x-y+5=0,解得A-52,52.由题意得-33k-3,52-52k-3,解得-115k0.所以实数k的取值范围是-115,0.5.(xx顺义一模)已知点P(x,y)的坐标满足条件2x+3y-90,2x-3y+90,y-10,且点P在直线3x+y-m=0上.则m的取值范围是()A.-9,9B.-8,9C.-8,10D.9,10【解析】选C.画出不等式组2x+3y-90,2x-3y+90,y-10表示的平面区域,如图所示:则目标函数3x+y-m=0转化为m=3x+y,目标函数过点A时,取得最小值,过点B时取得最大值;由2x-3y+9=0,y=1,求得A(-3,1),由2x+3y-9=0,y=1,求得B(3,1),则m=3x+y的最小值为3(-3)+1=-8,最大值为33+1=10;所以m的取值范围是-8,10.6.设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)-m+4恒成立,则实数m的取值范围为()A.-,57B.-,57C.57,+D.57,+【解析】选A.由题意,f(x)-m+4,可得m(x2-x+1)5.因为当x1,3时,x2-x+11,7,所以m5x2-x+1.因为当x=3时,5x2-x+1的最小值为57,所以若要不等式m5x2-x+1恒成立,则必须m57,因此,实数m的取值范围为-,57.7.已知实数x,y满足x+y-30,x-2y0,x-y0,若z=x2+y2,则z的最小值为()A.1B.322C.52D.92【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域,则z的几何意义为区域内的点到原点距离的平方,则由图象可知,当圆心O到点A的距离最小,由y=x,x+y-3=0,解得x=y=32,则z=92.8.已知集合M=x|x-3x-10,N=x|y=log3(-6x2+11x-4),则MN=()A.1,43B.12,3C.1,43D.43,2【解析】选C.因为集合M=x|x-3x-10=x|10=x|12x43.所以MN=x|1x3x|12x1),g(x)=|a-1|cos x(xR),若对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2),则实数a的取值范围为()A.0,2B.RC.-2,0 D.(-,-20,+)【解析】选A.对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min,函数f(x)=-x2+2x-2(x1),2-|1-x|-2(x1),注意到f(x)max=f(1)=-1,又g(x)=|a-1|cos x-|a-1|,故-|a-1|-1,解得0a2.11.直线x+my+1=0与不等式组x+y-30,2x-y0,x-20表示的平面区域有公共点,则实数m的取值范围是()A.13,43B.-43,-13C.34,3D.-3,-34【解析】选D.由题意,知直线x+my+1=0过定点D(-1,0),作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示,当m=0时,直线为x=-1,此时直线和平面区域没有公共点,故m0.x+my+1=0的斜截式方程为y=-1mx-1m,斜率k=-1m.要使直线和平面区域有公共点,则直线x+my+1=0的斜率k0,即k=-1m0,即m0,目标函数y=ax+z的斜率k=a0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x-y=0平行,此时a=2,若a0,目标函数y=ax+z的斜率k=a0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行,此时a=-3,综上a=-3或a=2.二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式|x-3|2的解集为_.【解析】不等式|x-3|2,即-2x-32,求得1x0,若对任意x-3,+),f(x)|x|恒成立,则a的取值范围是_.【解析】当-3x0时,由f(x)|x|得:x2+2x+a-2-x.即a-x2-3x+2,而-x2-3x+2的最小值为2,所以a2.当x0时,由f(x)|x|得:-x2+2x-2ax.即2a-x2+x,而-x2+x的最大值为14,所以a18.综上可知:18a2.答案:18a216.(xx信阳市二模)若偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,且f(3)=0,则不等式(x-1)f(x)0的解集是_.【解析】根据题意,偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,则其在0,+)上为增函数,又由f(3)=0,则f(-3)=0,由图象知当x3时,f(x)0;当-3x3时,f(x)0等价为x-10,f(x)0,f(x)0,即x1,x3或x-3或x1,-3x3或-3x0的解集是(-3,1)(3,+).答案:(-3,1)(3,+)
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