2019届高三数学第三轮考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学第三轮考试试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，则集合和的关系用如图所示的四幅图可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合N，通过集合的包含关系得到N是M的真子集，得到韦恩图【详解】N=xxx-2log2x=0=1，2M=0，1，2，N是M的真子集故选：A【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知是虚数单位，则复数1+i1i在复平面上所对应的点的坐标为（ ）A. 1,0 B. 0,1 C. 1,0 D. 0,1【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标【详解】由于z=1+i1-i=(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2i2=i，则复数z在复平面上的对应点（0，1）故选：D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数3. 设向量a=m,1,b=1,2，且a+b2ab2=ab，则m=（ ）A. 2 B. 31 C. 51 D. 4【答案】A【解析】【分析】推导出ab=0，利用数量积的坐标运算能求出m【详解】a+b2-a-b2=abab=0，又a=m,1,b=-1,2，-m+2=0，即m=2故选：A【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题4. 若变量x,y满足约束条件x+2y0xy0x2y+20，则z=x3y的最小值为（ ）A. 52 B. 4 C. 32 D. 2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件x+2y0x-y0x-2y+20作出可行域如图，立&x-y=0&x+2y=2，解得B（2，2），化目标函数z=x3y为y=x3-z3，由图可知，当直线y=x3-z3过B（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为232=4故选：B【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S6=24,S9=63，则a4=（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d,S6=24,S9=63,6a1+652d=24,9a1+982d=63,联立解得a1=1,d=2，则a4=1+32=5，故选B.6. 已知函数fx=lnx+1cosxax在0,f0处的切线倾斜角为45，则a=（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 3【答案】C【解析】【分析】由求导公式和法则求出函数的导数，由切线倾斜角为45求出切线的斜率，即可求出的值【详解】求出导函数fx=cosxx+1-lnx+1sinx-a,又函数fx=lnx+1cosx-ax在0,f0处的切线倾斜角为45，1-a=1，即a=0故选：C【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：yy0=f(x0)(xx0)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x07. 33+2xnnN*的展开式中恰有三项的系数为有理数，则n的可能取值为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项.【详解】由题意，展开式中项的系数为Cnr3n-r32r，系数为有理数，nr是3的倍数，r是2的倍数，n=9，r=6，不符合；n=10，r=4,10，不符合；n=11，r=2，8，,不符合；n=12，r=0,6,12，符合题意，故选：D【点睛】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于中档题8. 已知ba1，且logab+logba=103，ab=ba，则如图所示的程序框图输出的S=（ ）A. 2 B. 2 C. 3 D. 3【答案】C【解析】【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=b,aba,ab的值，由此计算可得答案【详解】设t=logab1则有t+1t=103，即3t2-10t+3=0解得t=3，所以logab=3，b=a3，又ab=baaa3=a3a，a3=3a，即a=3，b=33根据程序框图可知：S=b,aba,ab显然a0,0).若fx在区间6,2上具有单调性，且f2=f23=f6，则fx的最小正周期为（ ）A. 2 B. C. 32 D. 2【答案】B【解析】【分析】由f（2）=f（23）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间6，2上具有单调性，且f（2）=f（6）可得函数的半周期，则周期可求【详解】由f（2）=f（23），可知函数f（x）的一条对称轴为x=2+232=712，则x=2离最近对称轴距离为712-2=12又f（2）=f（6），则f（x）有对称中心（3，0），由于f（x）在区间6，2上具有单调性，则2-612TT23，从而712-3=T4T=故选：B【点睛】本题考查f（x）=Asinx+型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属于中档题11. 已知F1,F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点M2,3，则F1MF2的角平分线的斜率为（ ）A. 1 B. 2 C. 2 D. 5【答案】C【解析】【分析】求得直线AF1的方程，根据角平分线的性质，可得P到AF1的距离与P到AF2的距离相等，即可求得直线l的方程【详解】由椭圆x216+y212=1，则F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=34（x+2），即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则|3x-4y+6|32+42=|x2|，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负，舍），直线l的方程为2xy1=0，故选：C【点睛】本题考查椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于中档题12. 已知函数fx=lnx，gx=aex+2b.若不等式fxgx在x0,+上恒成立，则2eba的最小值为（ ）A. 1 B. 1 C. e D. 【答案】A【解析】【分析】令h（x）f（x）g（x）=lnx（ae）x2b，利用导数求得h（x）max=h（1a-e）=ln（ae）12b0，求得2ba-1-ln(a-e)a，ae，运用导数求得a=2e时，可得所求最小值【详解】令h（x）=f（x）g（x）=lnx（ae）x2b，则h（x）=1x（ae），当ae时，h（x）单调递增，h（x）无最大值，不合题意；当ae时，令h（x）=0，则x=1a-e，x（0，1a-e）时，h（x）0，h（x）单调递增，x（1a-e，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）max=h（1a-e）=ln（ae）12b0，即ln（ae）12b，2b1ln（ae），2ba-1-ln(a-e)a，ae，由-1-ln(a-e)a的导数为1a2aa-e-ln(a-e)a2=1a2（-ea-e+ln（ae），当a=2e时，1a2（-ea-e+ln（ae）=0，且a2e，1a2（-ea-e+ln（ae）0；ea2e时，1a2（-ea-e+ln（ae）0，可得a=2e时，-1-ln(a-e)a取得最小值1e2eba的最小值为1故选：A【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 四个人围坐在一张方形桌旁，每个人抛掷一枚质地均匀的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币反面朝上，则这个人继续坐着.那么，恰有相邻的两个人站起来的概率为_【答案】14【解析】【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可【详解】恰有相邻的两个人站起来，即正正反反，反正正反，反反正正，正反反正，共有4种情况，故P=424=14，故答案为：14【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.14. 双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0与抛物线y2=4x有公共焦点F，P是它们的公共点，设Q0,1，若QPQF，则C的离心率e=_【答案】2+1【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用直线的垂直关系，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，然后求解离心率【详解】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)与抛物线y2=4x有公共焦点F，F（1，0），Q（0，1），QPQF，所以kQP=1，直线QP：y=x+1，代入y2=4x得到P（1，2），所以PFx轴，|PF|=2|PF|=22，a=|PF|-|PF|2=2-1c=1，e=12-1=2+1故答案为：2+1【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得a,c的值，直接代入公式e=ca求解；（2）列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2=a2-c2，消去b后转化成关于的方程(或不等式)求解15. 张半径为1+3的圆形包装纸，按照如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥，折叠所成的四棱锥外接球的表面积为_【答案】8【解析】【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，利用圆的直径建立方程，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积【详解】如图，连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则FI=3x，则2x+23x=21+3，即x=1设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2，OP=22-22=2，R2=(2-R)2+(2)2R=2该四棱锥的外接球的表面积S=4R2=8故答案为：8【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 16. 整数1,2,n nN*,n2的排列满足：从第二个数开始，每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数.则这样的排列个数共有_个.（用含n的代数式表示）【答案】2n1【解析】【分析】利用前几个特例找到规律，从而可以得到答案.【详解】记所求的排列种数为an，当n=1时，只有数1，显然a1=1；对于n2，如果数n排在第i位，则它之后的n-i个数完全确定，即只能是n-i，n-i-1，1，而它之前的i-1个数有ai-1种排法，考虑到n的不同位置，则必有an=1+a1+a2+an-1，由a1=1，可得a2=1+a1=2，a3=1+a1+a2=4=22，a4=1+a1+a2+a3=8=23，由此猜测an=2n-1【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知acosBC=cosA23bsinCa.（1）求角A； （2）若ABC的周长为8，外接圆半径为3，求ABC的面积.【答案】(1)A=60;(2)433.【解析】【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA的值，结合A的范围即可得解A的值;（2）由已知根据正弦定理可求a，由已知可得b+c=5，由余弦定理进而可得bc的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）由acosB-C=cosA23bsinC-a，得acosB-C+acosA=23bsinCcosA，即acosB-C-acosB+C=23bsinCcosA，所以acosBcosC+asinBsinC-acosBcosC-sinBsinC =23bsinCcosA 即asinBsinC=3bsinCcosA，因为sinC0，所以asinB=3bcosA.由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，因为sinB0，所以sinA=3cosA，所以tanA=3，得A=60.（2）因为ABC的外接圆半径为3，所以a=2RsinA=2332=3，所以b+c=5， 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bccos60 b+c2-3bc所以3bc=b+c2-a2=25-9=16，得bc=163，所以ABC的面积S=12bcsinA=1216332=433.【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB=4，E为BC的中点，现将BAE与DCE折起, 使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直.（1）求证：BC/平面ADE；（2）求二面角ABEC的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)33.【解析】分析：（1）分别取AE,DE中点M,N，分别连接BM,CN,MN，可证明BM平面ADE,CN平面ADE，可得BM/CN，又BM=CN，四边形BCNM为平行四边形，BC/MN，从而可得BC/平面ADE；（2）以E为原点，ED,EA为x，y正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面ABE的一个法向量n1=(1,0,0)，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面CBE的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）分别取AE,DE中点M,N，分别连接BM,CN,MN，则BMAE且CNDE平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直，BM平面ADE,CN平面ADE，由线面垂直性质定理知BM/CN，又BM=CN，四边形BCNM为平行四边形，BC/MN又BC平面ADE，BC/平面ADE.（2）如图，以E为原点，ED,EA为x，y正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，则B(0,2,2),C(2,0,2).平面ABE的一个法向量n1=(1,0,0)，设平面CBE的法向量n2=(x,y,z)，则n2EB=2y+2z=0n2EC=2x+2z=0，取y=-1得n2=(-1,-1,1)cos=n1n2|n1|n2|=-13=-33，注意到此二面角为钝角，故二面角A-BE-C的余弦值为-33.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x:(单位：元/月）和购买人数y(单位：万人）的关系如表:（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求出y关于x的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：25000158，26000161，27000164.参考公式：相关系数r=i=1nxixyiyi=1nxix2i=1nyiy2，回归直线方程y=bx+a，其中b=i=1nxixyiyi=1nxix2，a=ybx.【答案】(1)见解析;(2)y=0.64x+36.6;一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1) 根据题意，得x,y,计算出相关系数，从而可以作出判断;(2) 求出回归直线方程，由知，若x=25，则y=-0.6425+36.6=52.6，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人【详解】（1）根据题意，得x=1530+35+40+45+50=40，y=1518+14+10+8+5=11.可列表如下根据表格和参考数据，得i=15xi-xyi-y=160，i=15xi-x2i=15yi-y2=250104=26000161.因而相关系数r=i=15xi-xyi-yi=15xi-x2i=15yi-y2=-160161-0.99.由于r0.99很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系. 由于r0.对a分类讨论，分析函数的单调性从而得到的取值范围；（2）由（1）知a0，设gx0=0，即lnx0+2ax0+1=0.则fx在区间0,x0上单调递减，在区间x0,+上单调递增，fx的值域为fx0,+，即N=fx0,+.要使M=N，只需fx0x0。【详解】（1）由题意得gx有唯一零点，且gx在零点两侧的符号相反. gx=lnx+2ax+1，gx=1x+2a,x0.当a0时，gx0，故gx在区间0,+上单调递增，又x0时，gx0，故gx=0在区间0,+上存在唯一零点且在零点两侧的符号相反.当a0，得x-12a，故gx在区间0,-12a上单调递增，在区间-12a,+上单调递减，若g-12a=0，则gx存在唯一零点，但在零点两侧都为负，不合题意；若g-12a0，则gx0，又x0时，gx0，x+时，gx0，故结论得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l1:x=0，圆C:x12+y122=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l1,C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为=4R，设l1,l2与C的公共点分别为A,B，求OAB的面积.【答案】(1)见解析;(2)1+324.【解析】【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2能求出l1,C的极坐标方程；（2）=2代入2-2cos-2(1+2)sin+（3+22）=0，得1=1+2=4代入2-2cos-2(1+2)sin+（3+22）=0，得2=1+2由此能求出OAB的面积【详解】（1）x=cos,y=sin，l1的极坐标方程为cos=0，即=2R，C的极坐标方程为2-2cos-21+2sin+3+22=0.（2）将=2代入2-2cos-21+2sin+3+22=0，得2-21+2+3+22=0，解得1=1+2.将=4代入2-2cos-21+2sin+3+22=0，得，解得.故的面积为.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）函数有意义，则，据此可得.（2）由题意结合绝对值三角不等式的性质证得题中的结论即可.详解：（1）当时，所以，得，解得.（2），当且仅当时等号成立.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想