2019届高三数学下学期第四次模拟考试试题 文(含解析).doc

2019届高三数学下学期第四次模拟考试试题 文(含解析)第I卷（选择题）选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得 ：，则 .本题选择C选项.2. 复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.3. 中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A. 200 B. 300 C. D. 400【答案】B【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为，所以，则由等差数列的性质可得，即，所以，应选答案B 。点睛：本题将古代著名数学问题与等差数列紧密联系起来，彰显了数学知识的历史渊源，同时也说明数学知识的应用无处不在。求解时巧妙运用等差数列的通项的性质，从而使得问题简捷、巧妙获解。4. 设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意：.本题选择D选项.5. 已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】命题中，直线 的斜率是 所以 命题是命题成立的充分不必要条件.选A.6. 若，为锐角，且满足cos=，则sin的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin、sin（+）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sin=sin的值解：，为锐角，且满足cos=，sin=，sin（+）=，则sin=sin=sin（+）coscos（+）sin=，故选：C考点：两角和与差的正弦函数7. 设，满足约束条件若目标函数的最大值为2，则实数的值为A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：试题分析：先作出不等式组的图象如图,因为目标函数的最大值为,所以与可行域交于如图点,联立,得,由在直线上,所以有,选A.考点：二元一次不等式所表示的平面区域.8. 函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式 ，当时,是函数的一个零点,属于排除A,B,当x(0,1)时，cosx0，,函数f(x) 0，函数的图象在x轴下方，排除D.本题选择C选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图知四棱锥BADD1A1为长方体的一部分，如图,所以外接球的直径，所以,所以四棱锥的外接球的表面积是.本题选择C选项.10. 如图所示是一个算法程序框图，在集合， 中随机抽取一个数值作为输入，则输出的的值落在区间内的概率为A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4【答案】A【解析】根据程序框图可知，其功能为计算，输出的y值落在区间(5,3)，即5y3，当x0时，y=x+3，5x+33，解得8x0，故8x0时，y=x5，5x53，解得0x8，故0x8符合题意。.综合可得，x的取值为(8,8)，在集合A=x|10x10，xR中随机抽取一个数值做为x，故输出的y值落在区间(5,3)内的概率为.本题选择A选项.11. 已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则，因为，所以，即，所以，即，从而得，故选B点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是建立的一个关系式（等式），注意到条件是正三角形，因此取中点，则，于是渐近线的斜率，而的关系可通过及正三角形求得，这样我们找到了的等式，从而可求得离心率12. 若直角坐标平面内的两点满足条件：都在函数的图象上； 关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)已知函数,则此函数的“友好点对”有A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对【答案】C【解析】由题意得：函数 “友好点对”的对数，等于函数（）的图象关于原点对称的图象，与函数交点个数，在同一坐标系中做出函数（）的图象关于原点对称的图象，与函数（）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点故选C.第II卷（非选择题）填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是_【答案】【解析】双曲线的焦点到渐近线距离为的焦点到渐近线距离为.14. 已知正项等比数列中， ，其前项和为，且，则_【答案】15【解析】解：由题意可知： ，结合 解得： ，则 .15. 若，且，则_.【答案】4032【解析】令可得：，则.16. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：-10451221函数的极大值点为0,4；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数有4个零点.其中正确命题的序号是_【答案】【解析】试题分析： 由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，所以正确；因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故不正确.综上所述，正确命题的个数为2.考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用.三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知向量，向量，函数.（1）求单调递减区间；.（2）已知分别为内角的对边，为锐角，且恰是在上的最大值，求和的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：(1)利用平面向量数量积的运算法则得到三角函数式，化简三角函数式即可求得 的周期；(2)结合(1)中的结论首先求得函数的最大值，据此求得 的大小，然后利用余弦定理求得边长b即可.试题解析：（1）.（2）由（1）知：，时，当时取得最大值，此时.由得.由余弦定理，得，即，则.18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分两人4局的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（2）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，求的概率； （3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由题意，得中至少有一个不小于，由此能得到的值；（2）设“从甲乙的局比赛中随机各选取局，且得分满足”为事件，记甲的局比赛为，各局的得分分别为；乙局的局比赛为，各局的得分分别是，利用列举法能求出的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取值为.试题解析：（1）由题意得，即.在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，至少有一个小于6，又，且，.（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是6,6,9,9；乙的4局比赛为，各局的得分分别是7,9,6,10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，.而事件的结果有8种，它们是：，事件的概率.（3）的所有可能取值为6，7，8.考点：古典概型及其概率的求解19. 如左图：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=900，AB=BC=2，AD=6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到的位置，使，如下图：若G,H分别为，的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（）证明过程见解析；（）【解析】试题分析：（）由勾股定理可得又知，进而得，从而面，再由线面垂直的判定定理可及性质得， ；（）由（1）得.试题解析：（）在中 ，.，.，.，.又在平面内，分别为，的中点，连接.（）由（1）得.20. 已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值【答案】（1）；（2）的最大值为2【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即根据条件列两个独立方程：一是离心率，二是椭圆定义：的周长为，解方程组得，（2）涉及弦长问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和弦长公式求弦长：设切线的方程为，则，再根据直线与圆相切得，即，代入化简得，最后利用基本不等式求最值试题解析：（1）由题得：，1分，3分所以4分又，所以，5分即椭圆的方程为6分（2）由题意知，设切线的方程为，由，得7分设，则8分，由过点的直线与圆相切得，即，所以11分，当且仅当时，所以的最大值为212分.考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数（1）求函数的最大值；（2）设 其中，证明: 1【答案】（1）f(x)的最大值为f(0)0；（2）证明过程见解析【解析】试题分析：（1）先求导,从而求出增区间为,减区间为,故；（2）由（1）知,所以当时,成立，当时,令,所以,所以成立.试题解析：（1）f(x)xex当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)的最大值为f(0)0（2）由（）知，当x0时，f(x)0，g(x)01当1x0时，g(x)1等价于设f(x)x设h(x)f(x)x，则h(x)xex1当x(1，0)时，0x1，0ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0单调递减当1x0时，h(x)h(0)0，即g(x)1综上，总有g(x)1考点：利用导数研究函数的性质.【方法点晴】求函数在上的最大值和最小值的步骤:（1）求函数在内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值；（3）将函数的各极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.利用导数证明不等式,可先利用分析法分析,然后构造函数证明.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1) 写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；(2) 过点且与直线平行的直线交曲线于，两点，求.【答案】() ；()2.【解析】试题分析：() 消去参数即可得到直线的普通方程，根据即可求得曲线的直角坐标方程；()首先求得直线的参数方程，然后联立曲线的直角坐标方程利用参数的几何意义求解即可.试题解析：() 由消去参数，得直线的普通方程为.又由得，由得曲线的直角坐标方程为.() 过点且与直线平行的直线的参数方程为将其代入得，则，知，所以.考点：1、直线的参数方程；2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若， ，求的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.试题解析：（1）由于由函数的图象可知.（2）由已知,有， 因为(当时取等号)，(当时取等号)，所以，即，故的最大值为2.