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,我们把研究关于“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.,新课引入,第十三章轴对称,13.4课题学习最短路径问题,问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,l,当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,如图，作点B关于直线l的对称点B.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB的和最小？,在连接AB两点的线中，线段AB最短.因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求.,在直线l上任取另一点C，连接AC、BC、BC直线l是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC，即AC+BC最小,l,证明：如图.,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择,方法总结：,问题1归纳,抽象为数学问题,用旧知解决新知,联想旧知,解决实际问题,问题2,（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.,由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNMN.,AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中，由线段公理知AN+BNAB，,AM+MN+BNAM+MN+BN.,证明：,a,b,总结归纳：,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,问题2归纳,抽象为数学问题,用旧知解决新知,联想旧知,解决实际问题,小结归纳,转化,轴对称变换,平移变换,两点之间，线段最短.,1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,D,尝试应用：,2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.,1000,4、如图所示，M、N是ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使PMN的周长最小。,归纳总结,本节课你有什么收获？,学习了利用轴对称解决最短路径问题,感悟和体会转化的思想,补偿提高,如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径,思路分析：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”,新知1,运用轴对称解决距离最短问题,运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.,新知2,利用平移确定最短路径选址,解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.,必做题教材第91页复习题13第15题.,
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