九年级数学上册 专题突破讲练 三招教你求阴影面积试题 （新版）青岛版.doc

三招教你求阴影面积在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算 以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算这是求面积的常用方法不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中：1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形2. 扇形面积公式：若设O半径为R，则圆心角为n的扇形的面积公式为：又因为n的圆心角所对的弧长为：，所以说明：公式中n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；例如：如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA4cm，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积解析：图中阴影部分面积为：以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积；而弓形面积等于扇形AOB面积减去AOB面积解：OA4cm，O90，OB4cm，（cm2），又，所以，而，故第二招：割补法1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积例如：如图（1），在以AB为直径的半圆上，过点B做半圆的切线BC，已知AB=BC=，连结AC，交半圆于D，则阴影部分图形的面积是_解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因，所以可进行割补转化解：连接DB，因为AB=BC， ，如图（2），所以 AD=DB=DC，所以把弓形AD割补到弓形DB处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中RtBDC的面积因此2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出例如：如图，A、B、C、D、E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是1，是等圆，可把五个扇形割补到同一个圆中解：因为，A+B+C+D+E=（5-2）180=540所以第三招：等积变形把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积例如：如图，A是半径为2的O外一点，OA4，AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，连结AC，求图中阴影部分的面积解析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而ABC不是Rt，所以考虑借助OABC将ABC移形，连接OC、OB，则SOCBSACB则阴影部分面积为扇形AOB面积解：连接OB、OC，如图，因为BCOA，所以ABC与OBC在BC上的高相等，所以，所以，又AB是O的切线，所以OBAB，而OB2，OA4，所以AOB60，由BCOA得OBC60，所以OBC为等边三角形，BOC60，例题 如图，AB、CD是O的两条互相垂直的直径，点O1、O2、O3、O4分别OA、OB、OC、OD的中点，若O的半径是2，则阴影部分的面积为（ ）A. 8 B. 4 C. 4+4 D. 44解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E连接起来，得到一个对角线为4的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积解：连接AD，DB，BC，CA，故选A答案：A点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想割补法是转化法的一种求旋转问题中的阴影面积满分训练 （江苏中考）如图，在ABC中，BAC90，AB5cm，AC2cm，将ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45至A1B1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2 解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图形的面积的和或差来求解：BAC90，BC2AB2AC2522229S阴影S扇形BCB1SA1B1CSABCS扇形ACA1 ABC旋转得到A1B1C，SABCSA1B1C，S阴影S扇形BCB1S扇形ACA1（cm2），故答案为答案：点拨：扇形面积的计算公式：S，SlR，求阴影面积（或不规则图形面积）时常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求利用旋转变换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。（答题时间：30分钟）1. （德州中考）如图，扇形AOB的半径为1，AOB=90，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为（ ）A. p B. p- C. D. p+2. 如图，点E是BC的中点，AB是O的直径，AB4，BED120，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 1 B. C. D. 2*3. 如图，以AD为直径的半圆O经过RtABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. *4. 在ABC中，C为锐角，分别以AB、AC为直径作半圆，过点B、A、C作弧，如图所示，若AB=4，AC=2，则S3S4的值是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，两等A、B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 6. 如图，ABC的三个顶点都在55的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC绕点B逆时针旋转到ABC的位置，且点A、C仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 （314，结果精确到01）*7. 如图，在RtABC中，C90，A30，AB2 将ABC绕顶点A顺时针方向旋转至ABC的位置，B、A、C三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 8. 如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留）*9. 如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，ADEF于点D，DAC=BAC（1）求证EF是O的切线；（2）求证AC2=ADAB（3）若O的半径为2，ACD=30，求图中阴影部分的面积10. 如图，在ABC中，ACB=90，E为BC上的一点，以CE为直径作O，AB与O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2（1）求证：A=2DCB；求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）*11. 如图，AB是O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分DAB，ADCD，垂足为D，AD交O于E，连接CE（1）判断CD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，O的半径为1，求图中阴影部分的面积*12. 如图，AB为O的直径，AC、DC为弦，ACD=60，P为AB延长线上的点，APD=30（1）求证：DP是O的切线；若O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积13. 如图，AB是半圆O的直径，且AB8，点C为半圆上的一点将此半圆沿BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 1. C 解析：因为扇形AOB的半径为1，AOB=90，所以AB=，AOB的面积为，扇形AOB的面积为，所以弓形的面积为，又因为半圆的面积为，所以阴影部分的面积为：（）=故选C2. C 解析：连接AE、OD，AB是直径，AEBC点E是BC的中点，AB=AC在AEB与AEC中，AE=AE，AEB=AEC=90，BE=CE，RtAEBRtAEC，AB=AC（SAS）ABC是等腰三角形BED=120，BAD=60（圆内接四边形的对角互补），ABC是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）OA=OD，OAD是等边三角形，AD=OA=2，点D是AC的中点，DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），BAE=30，BE=AB=2，DE=BE，=，=又DE是ABC的中位线，CDE是边长为2的等边三角形，= 故选C3. D 解析：如下图所示：连接OB、OE、BE、BD设半圆的半径为RB、E是半圆弧的三等分点，DOBBOEEOA60弧BE的长为，解得R2S扇形OBE2AD是半圆O的直径，ABD90在RtABD中，BADDOB30，ABADcosBAD4在RtABC中，C90，BACBOE30，BCAB，ACABcosBAC3SABCACBC3OBOE，BOE60，BOE是等边三角形，BEO60EOA，BEAD，SABESOBE，S阴影SABCSABES弓形OBESABCSOBES弓形OBESABCS扇形OBE 故选D4. D 解析：S1+S3=AB2=2 ，S2+S4=AC2= ，得：（S1S2）+（S3S4）=， S3S4=故选D5. 解析：C=90，AC=8，BC=6AB=10C=90A+B=90，由等圆可知A、B的半径为5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于+=6. 7.2 解析：依题意，得扇形的半径，圆心角ABA90，图中阴影部分的面积扇形的面积直角三角形的面积23133314133102053727. 解析：8. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为，所以，图中阴影部分面积的和为=9. 解析：证明：连接OC，ADEF，ADC=90，ACD+CAD=90，OC=OA，ACO=CAO，DAC=BAC，CAD=ACO，ACD+CAD=90，ACD+ACO =90即OCD=90，EF是O的切线.证明：连接BCCD是O的切线，OCD=90，即ACD+ACO=90OC=OA，ACO=CAO，AOC=1802ACO，即AOC+ACO=90，由得：ACDAOC=0，即AOC=2ACD；AOC=2B，B=ACD，AB是直径，ACB=ADC=90在RtACD与RtACB中，B=ACD ACB=ADC，ACDABC，即AC2=ABADCD是O的切线，OCD=90， 即ACD+ACO=90，ACD=30，OCA=60，OC=OA，ACO是等边三角形，AC= OC=2，AOC=60，在RtADC中，ACD=30，AD=1，CD=，S阴影= S梯形OCDA S扇形OCA=10. 解析：（1）证明：连接ODAB与O相切于点D，ODB=90，B+DOB=90，ACB=90，A+B=90，A=DOB，OC=OD，DOB=2DCB，A=2DCB;（2）在RtODB中，OD=OE，OE=BE，cosB=，DOB=60BD=OBsin60=2S扇形ODE=，S阴影=SDOBS扇形ODE=211. 解析：（1）CD与圆O相切，理由为：AC为DAB的平分线，DAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD与圆O相切；（2）连接EB，由AB为直径，得到AEB=90，EBCD，F为EB的中点，OF为ABE的中位线，OF=AE=，即CF=DE=，在RtOBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=SDEC=12. 解析：连接OD、DB，ACD=60ABD=60又OB=OD，OBD为等边三角形，BOD=60又APD=30，ODP=90，ODDP，又点D在O上，DP是O的切线由知ODP为Rt，APD=30，tan30=，DP=S阴影=SODP-S扇形=ODDP=3-=-答：阴影部分的面积为cm13. 解析：如下图，连接OC，过点O作OGBC于点G，交半圆周于点D易知直线BC、OD是两条弧BOC与BDC所围成的图形的对称轴，故OGOC，从而OCG30，COGGOB60，AOC60由对称性易知，弧OFB与半径OB组成的弓形面积等于弧OEC与半径OC组成的弓形面积，因此，S阴影部分S扇形OAC