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第二十五章 25.3用频率估计概率知识点1：利用频率估计概率一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A发生的概率,记作P(A)=p.频率估计概率的适用对象:当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过统计频率来估计概率.根据大量重复试验,某一事件发生的频率越来越稳定于某个常数,可将这个常数看作该事件发生的概率.关键提醒:概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定的值,即用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率,但大量试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在,如抛硬币10次,并不一定是正面、反面各5次.知识点2：设计模拟试验通过试验预测某事件的概率时,当试验的所有可能不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,要通过频率来估计概率,也就是说,要借助试验法得到相应的概率,如试验遇到找不到相应的实物或用实物进行试验困难较大的情况下,其有效方法是:(1)寻找满足条件的替代物做模拟试验;(2)用计算器产生随机整数的方法进行模拟试验.知识点3：用统计频(概)率解决实际问题实际问题中的试验一般不属于各种结果发生的可能性相等的类型,所以先用频率去估计概率,然后根据估计的概率解决相关问题.归纳整理:(1)在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果不尽相同(具有偶然性),但大量重复试验所得结果却能反映规律.(2)在做大量重复试验时,可以根据概率要达到的精度来确定数据表中频率保留的数位.一般用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少.考点1：利用频率估计概率【例1】从某玉米种子中抽取6批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8539865279316044005发芽频率0.8500.7450.8510.7930.8020.801根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为(精确到0.1).答案:0.8.点拨:从左到右,当试验种子的粒数很多时,种子的发芽的频率逐渐稳定于0.8左右,即种子的发芽的概率为0.8.考点2：设计模拟试验求概率【例2】把图中的3张纸片放在盒子里搅匀,任取2张,看是拼成房子(正方形和三角形)还是拼成菱形(两个三角形).苗苗记录了她做这个游戏的情况,并绘制了如下的表格:拼图次数10203040506080100拼成房子的次数713192734405367拼成房子的频率(1)计算拼成房子的频率并填表,估计能拼成房子的概率是多少?(结果保留三位有效数字)(2)如果你身边没有这样的硬纸片,你能设计一个模拟试验吗?说说你的方案.解:(1)表格中拼成房子的频率依次为:0.700,0.650,0.633,0.675,0.680,0.667,0.663,0.670.可以看出,随着试验次数的增多,拼成房子的频率稳定在0.666左右,从而估计出任意抽取2张拼成房子的概率是0.666.(2)模拟试验方案:一个不透明的袋子里装有1只红球和2只白球,这些球除颜色外没有其他区别,从中随机摸出两只球,两只球颜色不同代表拼成房子,颜色相同代表拼成菱形.点拨:本题涉及用频率估计概率及模拟试验的设计.(1)解答时表格中的频率可以直接求得,估计概率要注意随着试验次数的增多,频率稳定在哪个常数附近;(2)模拟试验的方法很多,关键是注意试验的条件要相同.考点3：利用频率求概率解决实际问题【例2】某工厂封装圆珠笔的箱子,每箱只装2000枝,在一次封装时,误把一些已作标记的不合格的圆珠笔也装入箱里,若随机拿出100枝圆珠笔,共做10次试验,100枝中不合格的圆珠笔的平均数是5,你能估计箱子里混入多少不合格的圆珠笔吗?若每枝合格圆珠笔的利润为0.05元,而发现不合格品要退货并每枝赔偿商店1.00元,你能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是盈利?亏损,损失多少元?盈利,利润是多少?解:因为每100枝平均有5枝不合格,所以有20001005=100,故可估计整箱平均有100枝不合格,1900枝合格.赔偿1001=100(元),利润19000.5=950(元),总的盈利950-100=850(元),所以这箱圆珠笔盈利,共盈利850元.点拨:利用平均概率可估计出共有多少枝不合格的商品,即可推算出亏损还是盈利.
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