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角平分线的性质及应用,驶向胜利的彼岸,旧知回顾,角的平分线的定义是什么?,旧知回顾,已知一个角你会将它平分吗?说一说,你有哪些方法?有没有既简单又准确的方法。,A,画法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,分别以,为圆心大于1/2的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,1、怎样画一个已知角的角平分线,如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等,这个集贸市场应建在何处,解决问题,S,画一个AOB,用尺规作出AOB的平分线OP,过P作PDOA,PEOB问题:比较PD和PE的大小关系(量一量)。PD=PE再换一个新的位置看看情况会怎样?,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,1、怎样画一个已知角的角平分线,证明:OC平分AOB(已知)1=2(角平分线的定义)PDOA,PEOB(已知)PDO=PEO(垂直的定义)在PDO和PEO中PDO=PEO(已证)1=2(已证)OP=OP(公共边)PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等),已知:如图,OC平分AOB,点P在OC上,PDOA于点D,PEOB于点E求证:PD=PE,2、验证猜想:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知:“一个点在一个角的平分线上”。结论:“这个点到这个角两边得距离相等”,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3、角的平分线的性质:,PDOA,PEOB,OC是AOB的平分线,PDPE,用数学语言表述:,或:1=2,PDOA,PEOBPD=PE(角平分线的性质),例:已知:如图,ABC中C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB于E,F在AC上BD=DF,求证:CF=EB。,证明:AD平分CABDEAB,C90(已知)CDDE(角平分线的性质)在tCDF和RtEDB中,CD=DE(已证)DF=DB(已知)RtCDFRtEDB(HL)CF=EB(全等三角形对应边相等),练习1:已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,证明:AD平分CABDEAB,DFAC(已知)DE=DF(角平分线的性质)在tBED和RtCFD中,BD=CD(已证)DE=DF(已知)RtBEDRtCFD(HL)BE=FC(全等三角形对应边相等),练习2:如图,E是AOB的角平分线OC上的一点,EMOB垂足为M,且EM=3cm,求点E到OA的距离,分析:点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段,再根据角的平分线的性质,可知点E到OA的距离。,解:过E作ENOA垂足为NE是AOB的角平分线上的一点,EMOB,ENOA,EM=EN又EM=3cm,EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。,E,M,练习:如图,E是AOB的角平分线OC上的一点,EMOB垂足为M,且EM=3cm,求点E到OA的距离,分析:点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段,再根据角的平分线的性质,可知点E到OA的距离。,解:过E作ENOA垂足为NE是AOB的角平分线上的一点,EMOB,ENOA,EM=EN又EM=3cm,EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。,E,M,练习3:如图,四边形ABCD中AB=AD,ABBC,ADCD,P是对角线AC上一点,求证:PB=PC,回味无穷,性质角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言:OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,作业,课本:习题11.3第5题,
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