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24.5三角形的内切圆知识要点基础练知识点1三角形的内切圆及相关概念1.下列说法错误的是(B)A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切B.一个圆一定有唯一一个外切三角形C.一个三角形一定有唯一一个内切圆D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆2.如图,O与三角形各边都相切,O是三角形的内切圆,圆心O叫做三角形的内心,ABC叫做O的外切三角形.3.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.(保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示,O即为所求.知识点2三角形的内心4.三角形的内心是(B)A.三条垂直平分线的交点B.三条内角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点5.在ABC中,已知C=90,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)A.32B.1C.2D.236.等边三角形的内切圆半径为1,则等边三角形的周长为63.【变式拓展1】等腰三角形的腰长为10,底边长为12,那么它的内切圆半径为3.【变式拓展2】已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为(C)A.32B.32C.3D.23综合能力提升练7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”(C)A.3步B.5步C.6步D.8步8.如图,I为ABC的内心,D点在BC上,且IDBC,若B=44,C=56,则AID=(A)A.174B.176C.178D.1809.(河北中考)如图,I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为(B)A.4.5B.4C.3D.210.已知O是RtABC的内切圆,ACB=90,AB=13,AC=12,则ABC的面积与O的面积之差等于30-4.11.已知三角形的周长为P,面积为S,其内切圆半径为r,则rS等于2P.12.(娄底中考)如图,P是ABC的内心,连接PA,PB,PC,PAB,PBC,PAC的面积分别为S1,S2,S3.则S1S2+S3.(填“”)13.如图,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划修建一个水库,要求到三条公路的距离相等,那么你能找到几个满足条件的地方?解:共四处.其一是三角形的内角平分线的交点,其他三处是三角形的相邻两个外角平分线的交点.14.如图,在ABC中,AB=AC,O是ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.(1)求证:BE=CE;(2)若A=90,AB=AC=2,求O的半径.解:(1)连接OB,OC,OE.O是ABC的内切圆,OB,OC分别平分ABC,ACB,OBC=12ABC,OCB=12ACB,AB=AC,ABC=ACB,OBC=OCB,OB=OC,又O是ABC的内切圆,切点为E,OEBC,BE=CE.(2)连接OD,OF.O是ABC的内切圆,切点为D,E,F,ODA=OFA=A=90,又OD=OF,四边形ODAF是正方形.设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r,在ABC中,A=90,BC=AB2+AC2=22,又BC=BE+CE,(2-r)+(2-r)=22,解得r=2-2,O的半径是2-2.15.如图,在ABC中,AC=BC,E是内心,AE的延长线交ABC的外接圆于点D.求证:(1)BE=AE;(2)ABAC=AEED.证明:(1)E为内心,EAB=12CAB,EBA=12CBA,又AC=BC,CAB=CBA,EAB=EBA,AE=BE.(2)DEB=EAB+EBA=2EAB=CAB,C=D,ABCEBD,ABBE=ACED.又BE=AE,ABAC=AEED.拓展探究突破练16.如图,在ABC中,AD是边BC上的中线,BAD=CAD,CEAD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.(1)求证:ABC为等腰三角形;(2)求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.解:(1)CEAD,BAD=E,CAD=ACE,BAD=CAD,ACE=E,AE=AC,BD=CD,AB=AE,AB=AC,ABC为等腰三角形.(2)如图,连接BP,BQ,CQ.在RtABD中,AB=AD2+BD2=32+42=5.设P的半径为R,Q的半径为r,在RtPBD中,PD2+BD2=PB2,即(R-3)2+42=R2,解得R=256,PD=PA-AD=256-3=76,SABQ+SBCQ+SACQ=SABC,12r5+12r8+12r5=1238,解得r=43,即QD=43,PQ=PD+QD=76+43=52,ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52.
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