利用空间向量知识求空间中的二面角.ppt

第七讲立体几何中的向量方法第3课时利用向量知识求空间二面角,第八章,掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法,重点：二面角与向量夹角的关系难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角,温故知新1回顾复习二面角及其平面角的定义，求法思维导航2怎样用空间向量来求二面角的大小？,知识点：二面角,3用向量方法求二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l为或设二面角大小为，则|cos|_,|cos|,利用向量法求二面角的两种方法(1)若AB,CD分别是两个平面,内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角,如图.(2)设n1,n2分别是平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图,例题讲解：正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成角的余弦值.,【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，则A(1，0，0)，B(0，0，0)取MN的中点G，连接BG，AG，则因为AMN，BMN为等腰三角形，所以AGMN，BGMN.所以AGB为二面角的平面角或其补角因为所以,故所求两平面所成角的余弦值为,方法二：设平面AMN的法向量n1(x，y，z),令x1，解得y1，z1，,所以n1(1，1，1)同理可求得平面BMN的一个法向量n2(1，1，1),所以cosn1，n2=,故所求两平面所成角的余弦值为,练习：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点(1)求证：PAEF.(2)求二面角D-FG-E的余弦值,【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)证明：由于(0，2，2)，(1，0，0)，则1002(2)00，所以PAEF.,(2)易知(0，0，1)，(1，0，0)，(2，1，1)，设平面DFG的法向量m(x1，y1，z1)，则解得令x11，得m(1，2，0)是平面DFG的一个法向量,设平面EFG的法向量n(x2，y2，z2)，同理可得n(0，1，1)是平面EFG的一个法向量因为cosm，n设二面角D-FG-E的平面角为，由图可知m，n，所以cos所以二面角D-FG-E的余弦值为.,课后训练：(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为()(2)PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC求二面角A-PB-C的余弦值,课堂小结：利用空间向量求二面角的方法(1)若AB,CD分别是两个平面,内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角。(2)设n1,n2分别是平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小。,