线性代数-特征值问题和特征向量.ppt

1,矩阵的特征值和特征向量,第四章,2,本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。,3,第一节矩阵的特征值与特征向量,定义,一、特征值与特征向量的基本概念,例如，,4,一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：,说明,1、特征值问题是针对方阵而言的；,2、特征向量必须是非零向量；,3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值,5,二、特征值与特征向量的求法,记,称为矩阵A的特征多项式，,为矩阵A的特征方程。,6,而矩阵A属于特征根的特征向量,计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：,7,例1,解,所以A的特征值为,8,相应齐次线性方程组的基础解系为,9,相应齐次线性方程组的基础解系为,10,相应齐次线性方程组的基础解系为,11,例2,解,所以A的特征值为,12,相应齐次线性方程组的基础解系为,13,相应齐次线性方程组的基础解系为,14,对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。,15,三、特征值与特征向量的性质,性质1,证,(2)可推广到多个特征向量.,16,属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。,性质2,属于不同特征值的特征向量线性无关。,只证两个特征向量的情况.,证,(1),(2),推广,17,性质3,证,从而有相同的特征值.,注意:,18,性质4,证,(2),重复这个过程,可得,19,性质4,证,(3),20,例3,多项式,证略,例如,矩阵A的有一个特征值为2,则,有一个特征值,7.,例4,证,幂等矩阵,21,例3,多项式,证略,例如,矩阵A的有一个特征值为2,则,有一个特征值,7.,例4,幂等矩阵,练习:,22,例5,解,由性质4,23,四、特征多项式的性质,中出现,故有,而常数项等于,所以,24,比较系数得,性质5,推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.,25,例6,解,26,矩阵的迹的性质,证略。,作业：习题四，1、4、6,27,END,END,